Questão 4(2,0 \mathrm{pt}). Seja W=\{(4,2),(-1,2)\} um subconjunto de V=\mathbb{R}^{2}.
a) Mostre que W é uma base ortogonal e obtenha uma base ortonormal S de V.
b) Encontre [v]_{S} as coordenadas de v em relação á base S

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto W=\{(4,2),(-1,2)\} de V=\mathbb{R}^2 e pede:
  • (a) mostrar que W é uma base ortogonal de V e obter uma base ortonormal S de V;
  • (b) encontrar [v]_S, as coordenadas de um vetor v\in\mathbb{R}^2 em relação à base S.
Informações fornecidas (pegar do enunciado):
  • u_1=(4,2).
  • u_2=(-1,2).

Passo 2

Primeiro vamos verificar ortogonalidade. Em \mathbb{R}^2 usamos o produto interno usual
\langle (a,b),(c,d)\rangle = ac+bd.
Calculemos \langle u_1,u_2\rangle:
\langle (4,2),(-1,2)\rangle = 4\cdot(-1)+2\cdot 2 = -4+4 = 0.
Como o produto interno é zero, u_1 e u_2 são ortogonais. Além disso, u_1\neq(0,0) e u_2\neq(0,0), logo são vetores não nulos. Em \mathbb{R}^2, dois vetores ortogonais não nulos são linearmente independentes; portanto \{u_1,u_2\} é um conjunto gerador e linearmente independente em \mathbb{R}^2, i.e. é uma base. Concluímos que W é uma base ortogonal de V.
(Pequena justificativa da independência: se \alpha u_1+\beta u_2=0, fazendo produto escalar com u_1 obtém-se \alpha\langle u_1,u_1\rangle=0, como \langle u_1,u_1\rangle>0 segue \alpha=0; análogo para \beta.)

Passo 3

Agora vamos construir a base ortonormal S normalizando u_1 e u_2. Primeiro as normas:
\|u_1\|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},
\|u_2\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
A normalização de um vetor u é e=\dfrac{u}{\|u\|}. Assim definimos
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{(4,2)}{2\sqrt{5}}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{(-1,2)}{\sqrt{5}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Cada e_i tem norma 1 e, como u_1 e u_2 eram ortogonais, os e_i também são mutuamente ortogonais. Portanto S=\{e_1,e_2\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Resumo explícito da base ortonormal obtida:
S=\left\{\;e_1=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad e_2=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\;\right\}.

Passo 5

Agora encontramos as coordenadas de um vetor arbitrário v=(x,y) em relação a S. Para uma base ortonormal \{e_1,e_2\} valem as fórmulas
\alpha=\langle v,e_1\rangle,\qquad \beta=\langle v,e_2\rangle,
onde v=\alpha e_1+\beta e_2. Calculemos os produtos escalares:
\langle v,e_1\rangle = (x,y)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{2x+y}{\sqrt{5}},
\langle v,e_2\rangle = (x,y)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{-x+2y}{\sqrt{5}}.
Portanto as coordenadas de v em relação a S são \left(\dfrac{2x+y}{\sqrt{5}},\dfrac{-x+2y}{\sqrt{5}}\right).
(Verificação rápida: substituindo \alpha=\dfrac{2x+y}{\sqrt{5}} e \beta=\dfrac{-x+2y}{\sqrt{5}} em \alpha e_1+\beta e_2 obtém-se de volta (x,y), mostrando coerência.)

Resposta

S=\displaystyle\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right\}
[v]_S=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{2x+y}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{-x+2y}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}]

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