Questão
. Seja
um subconjunto de
.
a) Mostre que
é uma base ortogonal e obtenha uma base ortonormal
de
.
b) Encontre
as coordenadas de
em relação á base
a) Mostre que
b) Encontre
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
e pede:
- (a) mostrar que
é uma base ortogonal de e obter uma base ortonormal de ; - (b) encontrar
, as coordenadas de um vetor em relação à base .
Informações fornecidas (pegar do enunciado):
-
. -
.
Passo 2
Primeiro vamos verificar ortogonalidade. Em
usamos o produto interno usual
Calculemos
:
Como o produto interno é zero,
e
são ortogonais. Além disso,
e
, logo são vetores não nulos. Em
, dois vetores ortogonais não nulos são linearmente independentes; portanto
é um conjunto gerador e linearmente independente em
, i.e. é uma base. Concluímos que
é uma base ortogonal de
.
(Pequena justificativa da independência: se
, fazendo produto escalar com
obtém-se
, como
segue
; análogo para
.)
Passo 3
Agora vamos construir a base ortonormal
normalizando
e
. Primeiro as normas:
A normalização de um vetor
é
. Assim definimos
Cada
tem norma
e, como
e
eram ortogonais, os
também são mutuamente ortogonais. Portanto
é uma base ortonormal de
.
Passo 4
Resumo explícito da base ortonormal obtida:
Passo 5
Agora encontramos as coordenadas de um vetor arbitrário
em relação a
. Para uma base ortonormal
valem as fórmulas
onde
. Calculemos os produtos escalares:
Portanto as coordenadas de
em relação a
são
.
(Verificação rápida: substituindo
e
em
obtém-se de volta
, mostrando coerência.)