Questão 4(2,0 \mathrm{pt}). Um recipiente aberto de cobre de massa igual a 0,3 \mathrm{~kg} contém 0,5 \mathrm{~kg} de gelo a -15^{\circ} \mathrm{C} (ambos em equilibrio térmico). Fornece-se calor ao recipiente a uma taxa constante de 0,75 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min} através de uma chapa térmica. (a) Quanta energia na forma de calor é necessária para levar o sistema até 0^{\circ} \mathrm{C} ? (b) Quanto tempo leva para o gelo começar a derreter? (c) Quanto calor o gelo precisa para derreter completamente? (d) Quanto tempo dura o item (c)? (e) Quanto calor o recipiente absorve durante o item (c)? Justifique sua resposta. (f) Quanto calor é necessário para levar o sistema até 100^{\circ} \mathrm{C} a partir do derretimento do gelo? (g) Em relação a este último estado (sistema a 100^{\circ} \mathrm{C} ), quanto tempo se passou desde o estado inicial do sistema e quanto calor a chapa térmica forneceu? (h) Se o sistema permaneceu o total de 600 min sobre a chapa térmica, qual a situação final: temperatura final do sistema e quantidade de água.

Passo 1

O enunciado dá um recipiente de cobre de massa m_{\mathrm{Cu}}=0,30\\ \mathrm{kg} contendo gelo de massa m_{\mathrm{gelo}}=0,50\\ \mathrm{kg} a -15^\circ\mathrm{C}. Fornece-se calor à taxa constante \dot Q=0,75\\ \mathrm{kJ/min}. Precisamos usar:
– Calor sensível: \displaystyle Q=m\,c\,\Delta T.
– Calor latente de fusão do gelo: \displaystyle Q=m\,L_f, com L_f=334\\ \mathrm{kJ/kg}.
– Relação entre calor e tempo: \displaystyle t=Q/\dot Q.
As capacidades térmicas são c_{\mathrm{gelo}}=2{,}09\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{\mathrm{Cu}}=0{,}385\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{\mathrm{água}}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}á.

Passo 2

Calor para aquecer o gelo e o recipiente de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m_{\mathrm{gelo}}\,c_{\mathrm{gelo}}\,(0-(-15)) + m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(0-(-15))
Q_1 = 0{,}50 \times 2{,}09 \times 15 \;+\;0{,}30 \times 0{,}385 \times 15 =15{,}675 +1{,}7325 =17{,}4075\\ \mathrm{kJ}.

Passo 3

Tempo para chegar a 0^\circ\mathrm{C}:
t_1 = \frac{Q_1}{\dot Q} = \frac{17{,}4075}{0{,}75} =23{,}21\\ \mathrm{min}.

Passo 4

Calor para derreter totalmente o gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m_{\mathrm{gelo}}\,L_f =0{,}50 \times 334 =167\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Tempo para derreter o gelo:
t_2 = \frac{Q_2}{\dot Q} = \frac{167}{0{,}75} =222{,}67\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Durante a fusão o sistema permanece a 0^\circ\mathrm{C}, logo o recipiente não sofre variação de temperatura. Assim, o calor absorvido pelo cobre no item de fusão é
Q_{\mathrm{Cu,fusão}}=0\\ \mathrm{kJ}.ã

Passo 7

Calor para aquecer água (0,50 kg) e recipiente (0,30 kg) de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}:
Q_3 = m_{\mathrm{água}}\,c_{\mathrm{água}}\,(100-0) + m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(100-0)áá
Q_3 =0{,}50\times4{,}18\times100 +0{,}30\times0{,}385\times100 =209 +11{,}55 =220{,}55\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Calor total e tempo para chegar a 100^\circ\mathrm{C}:
Q_{\mathrm{tot}}=Q_1+Q_2+Q_3 =17{,}4075+167+220{,}55 =404{,}9575\\ \mathrm{kJ}
t_{\mathrm{tot}}=\frac{Q_{\mathrm{tot}}}{\dot Q} =\frac{404{,}9575}{0{,}75}=539{,}94\\ \mathrm{min}.

Passo 9

Se a chapa ficou ligada 600\\ \mathrm{min}, sobra
\Delta t =600 -539{,}94 =60{,}06\\ \mathrm{min},
calor extra
Q_{\mathrm{extra}}=\dot Q\,\Delta t =0{,}75\times60{,}06=45{,}045\\ \mathrm{kJ}.
Esse calor faz evaporar parte da água a 100^\circ\mathrm{C}. Com L_v=2260\\ \mathrm{kJ/kg}, sai
m_{\mathrm{evap}}=\frac{45{,}045}{2260}=0{,}01994\\ \mathrm{kg}.
Logo, a água restante é 0{,}50 -0{,}01994=0{,}48006\\ \mathrm{kg} e a temperatura final permanece 100^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) 17{,}41\\ \mathrm{kJ}.
(b) 23{,}21\\ \mathrm{min}.
(c) 167\\ \mathrm{kJ}.
(d) 222{,}67\\ \mathrm{min}.
(e) 0\\ \mathrm{kJ} (sem variação de T do cobre).
(f) 220{,}55\\ \mathrm{kJ}.
(g) t=539{,}94\\ \mathrm{min}; Q=404{,}96\\ \mathrm{kJ}.
(h) Temperatura final 100^\circ\mathrm{C}, massa de água \approx0{,}48\\ \mathrm{kg}.

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