Questão 3 ( 2,0 pt). A temperatura de n=3,5 moles de um gás monoatômico ( C_{V}=3 R / 2 ) é aumentada de 149,4 \mathrm{~K} para 296,8 \mathrm{~K} à pressão constante igual a \mathrm{P}=1,5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. (a) Qual o volume inicial e final? (b) Qual a quantidade de energia transferida para o gás na forma de calor? (c) Qual o trabalho realizado pelo gás? (d) Se o gás voltar para a temperatura inicial mantendo o volume constante, qual será a nova pressão? (e) E qual seria a quantidade de calor perdido?

Passo 1

O enunciado trata de n=3{,}5 mols de um gás monoatômico ( C_{V}=\tfrac{3R}{2}) que sofre aquecimento de T_{1}=149{,}4,K até T_{2}=296{,}8,K à pressão constante P=1{,}5\times10^{5},Pa. Para resolver precisamos usar:
– Lei dos gases ideais ( PV=nRT) para achar volumes e pressões;
– Primeira lei da Termodinâmica ( \Delta U = Q - W);
– Calor específico a pressão constante ( C_{p}=C_{V}+R);
– Fórmulas Q_{p}=nC_{p}\Delta T e W=P\Delta V=nR\Delta T.

Passo 2

Calcular os volumes inicial e final via lei dos gases ideais:
V_{1}=\frac{nR\,T_{1}}{P}
V_{2}=\frac{nR\,T_{2}}{P}
Substituindo n=3{,}5, R=8{,}314,J/(mo l\cdot K), P=1{,}5\times10^{5},Pa, T_{1}=149{,}4,K e T_{2}=296{,}8,K, obtemos
V_{1}\approx0,0290\text{ m}^{3}, \quad V_{2}\approx0,0576\text{ m}^{3}.

Passo 3

Na transformação isobárica, o calor recebido é
Q_{p}=n\,C_{p}\,(T_{2}-T_{1}),
onde C_{p}=C_{V}+R=\tfrac{3R}{2}+R=\tfrac{5R}{2}. Logo
Q_{p}=3{,}5\cdot\frac{5\cdot8{,}314}{2}\cdot(296{,}8-149{,}4) \approx1,07\times10^{4}\text{ J}.

Passo 4

O trabalho realizado pelo gás em pressão constante é
W=P\,(V_{2}-V_{1})=nR\,(T_{2}-T_{1}).
Logo
W=3{,}5\cdot8{,}314\cdot(296{,}8-149{,}4)\approx4,29\times10^{3}\text{ J}.

Passo 5

Quando o gás volta a T_{1} mantendo V_{2} constante, a nova pressão é
P_{3}=\frac{nR\,T_{1}}{V_{2}}
Mas como V_{2}=\tfrac{nRT_{2}}{P}, segue
P_{3}=P\cdot\frac{T_{1}}{T_{2}} \approx1{,}5\times10^{5}\cdot\frac{149{,}4}{296{,}8} \approx7,55\times10^{4}\text{ Pa}.

Passo 6

Na transformação isocórica de T_{2} para T_{1}, o calor trocado é
Q_{V}=n\,C_{V}\,(T_{1}-T_{2})
com C_{V}=\tfrac{3R}{2}. Assim
Q_{V}=3{,}5\cdot\frac{3\cdot8{,}314}{2}\cdot(149{,}4-296{,}8) \approx-6,43\times10^{3}\text{ J}.
O sinal negativo indica calor perdido pelo gás.

Resposta

(a) V_{1}\approx0,0290\,\text{m}^{3} e V_{2}\approx0,0576\,\text{m}^{3}.
(b) Q_{p}\approx1,07\times10^{4},J.
(c) W\approx4,29\times10^{3},J.
(d) P_{3}\approx7,55\times10^{4},Pa.
(e) Q_{V}\approx-6,43\times10^{3},J (calor perdido).

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