7^a Questão: Uma matriz A=(ai j), 1 <= i <= 3 e 1 <= j <= 3 é definida por ai j=2 i-j.
(a) Encontre todos os coeficientes de A e escreva A na forma quadrada;
(b) Escreva a matriz 12 A na forma quadrada;
(c) Escreva a matriz B, em que B=A-12 A;
(d) Escreva, se possivel, a matriz C, em que C=A(12 A), na forma quadrada;

Passo 1

O enunciado dá uma matriz AinR^3times3 com coeficientes
aij=2,i - j,
para i,j=1,2,3. Precisamos:
– (a) listar todos os aij e escrever A;
– (b) calcular tfrac12A;
– (c) calcular B=A - tfrac12A;
– (d) calcular C=Al(tfrac12Ar), se possível.

Passo 2

Vamos preencher A linha a linha usando aij=2i-j.
Para i=1:
a11=2cdot1-1=1, a12=2cdot1-2=0, a13=2cdot1-3=-1
Para i=2:
a21=2cdot2-1=3, a22=2cdot2-2=2, a23=2cdot2-3=1
Para i=3:
a31=2cdot3-1=5, a32=2cdot3-2=4, a33=2cdot3-3=3
Logo,
A = 1 & 0 & -1 3 & 2 & 1 5 & 4 & 3

Passo 3

Para obter tfrac12A, basta multiplicar cada entrada de A por tfrac12:
tfrac12A = tfrac12 & 0 & -tfrac12 tfrac32 & 1 & tfrac12 tfrac52 & 2 & tfrac32

Passo 4

Definindo B = A - tfrac12A, temos
B = l(1 - tfrac12r)A = tfrac12A
Portanto
B = tfrac12 & 0 & -tfrac12 tfrac32 & 1 & tfrac12 tfrac52 & 2 & tfrac32

Passo 5

Para C = Al(tfrac12Ar), note que
C = tfrac12,A^2
Primeiro calculamos
A^2 = Acdot A = -4 & -4 & -4 14 & 8 & 2 32 & 20 & 8
Logo
C = tfrac12A^2 = -2 & -2 & -2 7 & 4 & 1 16 & 10 & 4

Resposta

(a) A = 1 & 0 & -1 3 & 2 & 1 5 & 4 & 3
(b) tfrac12A = tfrac12 & 0 & -tfrac12 tfrac32 & 1 & tfrac12 tfrac52 & 2 & tfrac32
(c) B = A - tfrac12A = tfrac12 & 0 & -tfrac12 tfrac32 & 1 & tfrac12 tfrac52 & 2 & tfrac32
(d) C = Al(tfrac12Ar) = -2 & -2 & -2 7 & 4 & 1 16 & 10 & 4

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