Questão 3(3,0) - Para medir a velocidade de propagação de ondas sonoras no ar, uma estudante utilizou um tubo semiaberto de comprimento variável, uma caixa de som ligada a uma fonte de tensão de frequência ajustável. Após alinhar a caixa de som à extremidade aberta do tubo, a estudante produziu uma onda de frequência 600 Hz e, variando o comprimento (L) do tubo, observou para quais comprimentos do tubo ocorria ressonância entre a onda sonora e os harmônicos do tubo. Repetindo para mais 2 valores de frequência, ela obteve os dados registrados na tabela 3. Com base nos dados determine:
Tabela 3 - Posições de ressonância para cada frequência
f(\mathrm{~Hz}) L de ressonância (cm) \lambda_{\text {médio }}é
600 112,0 141,0 170,0
700 110,5 135,0 160,0
800 109,0 130,0 152,0
a) (1,0) Os comprimentos de onda médio para cada frequência;
b) (1,0) A velocidade do som no ar a partir da média das velocidades para cada frequência;
c) (1,0) A velocidade do som no ar com base no MMQ.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo semiaberto em que as ressonâncias ocorrem nos harmônicos ímpares e cujos comprimentos de ressonância satisfazem
L_n = \frac{(2n-1)\,\lambda}{4},\quad n=1,2,3,\dots
Dessa relação segue que a diferença entre dois comprimentos de ressonância consecutivos é
\Delta L = L_{n+1}-L_{n} = \frac{\lambda}{2}.
Usaremos esse fato para:
  1. Determinar o comprimento de onda médio \lambda para cada frequência a partir de \Delta L.
  2. Calcular as velocidades v=f\,\lambda e obter a média aritmética.
  3. Ajustar pelo modelo \lambda = v\,(1/f) usando mínimos quadrados (MMQ).

Passo 2

Para cada frequência calculamos primeiro \Delta L_1 = L_2 - L_1 e \Delta L_2 = L_3 - L_2, depois \lambda_i = 2\,\Delta L_i e finalmente \lambda_{\text{médio}} = (\lambda_1+\lambda_2)/2é.
Para f=600\,\mathrm{Hz}: \Delta L_1 = 141{,}0 - 112{,}0 = 29{,}0\,\mathrm{cm} \Delta L_2 = 170{,}0 - 141{,}0 = 29{,}0\,\mathrm{cm} \lambda_1 = 2\cdot29{,}0 = 58{,}0\,\mathrm{cm} \lambda_2 = 58{,}0\,\mathrm{cm} \lambda_{\text{médio}} = 58{,}0\,\mathrm{cm} = 0,58\,\mathrm{m}.é Para f=700\,\mathrm{Hz}: \Delta L_1 = 135{,}0 - 110{,}5 = 24{,}5\,\mathrm{cm} \Delta L_2 = 160{,}0 - 135{,}0 = 25{,}0\,\mathrm{cm} \lambda_1 = 49{,}0\,\mathrm{cm},\;\lambda_2 = 50{,}0\,\mathrm{cm} \lambda_{\text{médio}} = 49{,}5\,\mathrm{cm} = 0,495\,\mathrm{m}.é Para f=800\,\mathrm{Hz}: \Delta L_1 = 130{,}0 - 109{,}0 = 21{,}0\,\mathrm{cm} \Delta L_2 = 152{,}0 - 130{,}0 = 22{,}0\,\mathrm{cm} \lambda_1 = 42{,}0\,\mathrm{cm},\;\lambda_2 = 44{,}0\,\mathrm{cm} \lambda_{\text{médio}} = 43{,}0\,\mathrm{cm} = 0,43\,\mathrm{m}.é

Passo 3

Calculamos a velocidade para cada frequência por
v_j = f_j\,\lambda_{\text{médio},j}é
e depois fazemos a média aritmética.
Para f=600\,\mathrm{Hz}:
v_1 = 600 \times 0,58 = 348\,\mathrm{m/s}.
Para f=700\,\mathrm{Hz}:
v_2 = 700 \times 0,495 = 346{,}5\,\mathrm{m/s}.
Para f=800\,\mathrm{Hz}:
v_3 = 800 \times 0,43 = 344\,\mathrm{m/s}.
A média aritmética é
v_{\text{média}} = \frac{348 + 346{,}5 + 344}{3} = 346{,}17\,\mathrm{m/s}.é

Passo 4

No modelo \lambda = v\,(1/f) definimos
x_i = \frac{1}{f_i},\quad y_i = \lambda_{\text{médio},i},é
e o coeficiente pelo MMQ sem intercepto é
v = \frac{\sum_i x_i\,y_i}{\sum_i x_i^2}.
Calculando
x_1 = \tfrac{1}{600}=0{,}001667,\; y_1=0{,}58;\quad x_2 = \tfrac{1}{700}=0{,}001429,\; y_2=0{,}495;\quad x_3 = \tfrac{1}{800}=0{,}001250,\; y_3=0{,}43,
obtém-se
\sum x_i y_i = 0{,}0022113,\quad \sum x_i^2 = 0{,}0000063811,
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v = \frac{0{,}0022113}{0{,}0000063811} \approx 346{,}62\,\mathrm{m/s}.

Resposta

a) \lambda_{\text{médio}}(600\,\mathrm{Hz})=0,58\,\mathrm{m}é, \lambda_{\text{médio}}(700\,\mathrm{Hz})=0,495\,\mathrm{m}é, \lambda_{\text{médio}}(800\,\mathrm{Hz})=0,43\,\mathrm{m}é.
b) v_{\text{média}}=346{,}17\,\mathrm{m/s}é.
c) v_{\text{MMQ}}=346{,}62\,\mathrm{m/s}.

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