Ao medir a velocidade de um elétron em laboratório, obteve-se um valor de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com imprecisão de 0,01%. Qual a mínima incerteza que podemos ter sobre a posição deste elétron, em medida simultânea com a velocidade? (massa do elétron: 9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} )

Passo 1

O enunciado diz que medimos a velocidade de um elétron como v=300\,\mathrm{m/s} com imprecisão de 0{,}01\%. Queremos a menor incerteza possível na posição \Delta x se medirmos simultaneamente a velocidade. O conteúdo envolvido é o princípio da incerteza de Heisenberg, que relaciona incertezas de posição e momento.

Passo 2

A incerteza relativa na velocidade é 0{,}01\%, ou seja
\Delta v = 0{,}0001 \times 300\,\mathrm{m/s} = 0{,}03\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Como o momento é p = m\,v, a incerteza em p é
\Delta p = m\,\Delta v
com m=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}. Assim
\Delta p = 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\times0{,}03\,\mathrm{m/s} =2{,}733\times10^{-32}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Pelo princípio de incerteza de Heisenberg vale
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
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\Delta x \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta p} =\frac{\hbar}{2\,m\,\Delta v}.

Passo 5

Substituindo \hbar=1{,}054\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, m=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e \Delta v=0{,}03\,\mathrm{m/s}:
\Delta x \ge \frac{1{,}054\times10^{-34}}{2\times9{,}11\times10^{-31}\times0{,}03} \approx1,9\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

Resposta

A mínima incerteza em posição é aproximadamente
\Delta x \approx 1,9\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

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