Questão 5 Com os mesmos vetores
e
:
a) Calcule o produto escalar
b) Determine o ângulo entre
c) Use a fórmula para encontrar o ângulo
entre os vetores
e
.
a) Calcule o produto escalar
b) Determine o ângulo entre
c) Use a fórmula para encontrar o ângulo
Passo 1
Beleza, vamos encarar essa questão juntos! A gente tem dois vetores,
e
, e precisamos resolver três partes:
a) Calcular o produto escalar
b) Determinar o ângulo entre e
c) Usar a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores
e
b) Determinar o ângulo entre
c) Usar a fórmula para encontrar o ângulo
Pra isso, vamos usar conceitos de produto escalar e trigonometria vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Calculando o produto escalar
O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores é uma operação que multiplica os componentes correspondentes e soma os resultados. A fórmula é:
Vamos aplicar isso com nossos vetores:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 3
b) Determinando o ângulo entre
e
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a relação entre o produto escalar e os comprimentos (módulos) dos vetores. A fórmula geral é:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Para encontrar
, precisamos rearranjar a fórmula:
Então, vamos precisar calcular os módulos de
e
.
Passo 4
Calculando os módulos
e
O módulo de um vetor é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes:
Para
:
Para
:
Passo 5
c) Usando a fórmula para encontrar o ângulo
Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos encontrar
.
Já calculamos:
Substituindo na fórmula:
Para encontrar
, precisamos aplicar a função arco cosseno (cos⁻¹):
Resposta
a) O produto escalar
é igual a
.
b) O ângulo entre e
é aproximadamente
.
c) Utilizando a fórmula, o ângulo entre os vetores
e
é
.
b) O ângulo entre
c) Utilizando a fórmula, o ângulo