Questão 5 Com os mesmos vetores u=(2,-1,3) e v=(-1,4,0) :
a) Calcule o produto escalar u cdot v
b) Determine o ângulo entre u e v
c) Use a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores u e v.

Passo 1

Beleza, vamos encarar essa questão juntos! A gente tem dois vetores, u=(2,-1,3) e v=(-1,4,0), e precisamos resolver três partes:
a) Calcular o produto escalar u cdot v
b) Determinar o ângulo entre u e v
c) Usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores u e v
Pra isso, vamos usar conceitos de produto escalar e trigonometria vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Calculando o produto escalar u cdot v
O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores é uma operação que multiplica os componentes correspondentes e soma os resultados. A fórmula é:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy + uz cdot vz
Vamos aplicar isso com nossos vetores:
u cdot v = (2) cdot (-1) + (-1) cdot (4) + (3) cdot (0)
Calculando cada termo:
  • 2 cdot (-1) = -2
  • -1 cdot 4 = -4
  • 3 cdot 0 = 0
Somando tudo:
-2 + (-4) + 0 = -6

Passo 3

b) Determinando o ângulo entre u e v
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a relação entre o produto escalar e os comprimentos (módulos) dos vetores. A fórmula geral é:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores. Para encontrar theta, precisamos rearranjar a fórmula:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Então, vamos precisar calcular os módulos de u e v.

Passo 4

Calculando os módulos |u| e |v|
O módulo de um vetor é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes:
|u| = raizux^2 + uy^2 + uz^2
Para u = (2, -1, 3):
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 approx 3,7417
Para v = (-1, 4, 0):
|v| = raiz(-1)^2 + 4^2 + 0^2 = raiz1 + 16 + 0 = raiz17 approx 4,1231

Passo 5

c) Usando a fórmula para encontrar o ângulo theta
Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos encontrar theta.
Já calculamos:
  • u cdot v = -6
  • |u| approx 3,7417
  • |v| approx 4,1231
Substituindo na fórmula:
cos(theta) = -63,7417 cdot 4,1231 approx -615,432 approx -0,388
Para encontrar theta, precisamos aplicar a função arco cosseno (cos⁻¹):
theta = cos^-1(-0,388) approx 113,2^circ

Resposta

a) O produto escalar u cdot v é igual a -6.
b) O ângulo entre u e v é aproximadamente 113,2^circ.
c) Utilizando a fórmula, o ângulo theta entre os vetores u e v é theta approx 113,2^circ.

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