Questão 6 Considere três pontos no espaço: P(1,2,1), Q(2,0,3), R(3,1,2)
a) Encontre um vetor normal ao plano determinado por esses pontos.
b) Determine a equação do plano que passa por P, Q e R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa questão! Temos três pontos no espaço: P(1,2,1) , Q(2,0,3) e R(3,1,2) . A gente precisa:
a) Encontrar um vetor normal ao plano formado por esses pontos.
b) Determinar a equação desse plano.
Pra fazer isso, vamos usar um pouco de vetores e álgebra linear. Não se preocupa se esses termos soarem complicados, vou explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, pra achar um vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores que estão dentro do plano. A gente pode construir esses vetores usando os pontos dados. Vamos chamar de PQ o vetor que vai de P até Q , e de PR o vetor que vai de P até R .
Para encontrar PQ , subtraímos as coordenadas de P das de Q :
PQ = Q - P = (2-1, , 0-2, , 3-1) = (1, -2, 2)
Da mesma forma, para PR :
PR = R - P = (3-1, , 1-2, , 2-1) = (2, -1, 1)

Passo 3

Agora que temos os vetores PQ = (1, -2, 2) e PR = (2, -1, 1) , podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais.
O produto vetorial PQ times PR é calculado assim:
PQ times PR = i & j & k 1 & -2 & 2 2 & -1 & 1
Calculando o determinante:
PQ times PR = i((-2)(1) - (2)(-1)) - j((1)(1) - (2)(2)) + k((1)(-1) - (-2)(2))
= i(-2 + 2) - j(1 - 4) + k(-1 + 4)
= i(0) - j(-3) + k(3)
= (0, 3, 3)
Então, o vetor normal ao plano é n = (0, 3, 3) .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n = (0, 3, 3) , podemos escrever a equação do plano. A equação geral de um plano é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto pelo qual o plano passa.
Vamos usar o ponto P(1,2,1) para substituir na equação:
0(x - 1) + 3(y - 2) + 3(z - 1) = 0
Simplificando:
0 + 3(y - 2) + 3(z - 1) = 0
3y - 6 + 3z - 3 = 0
3y + 3z - 9 = 0
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
y + z - 3 = 0

Resposta

a) Um vetor normal ao plano é n = (0, 3, 3) .
b) A equação do plano que passa por P, Q e R é y + z - 3 = 0 .

Exercícios relacionados