Mostre que as matrizes dadas formam uma base de M22.
[rr 3 & 6 3 & -6 ], [rr 0 & -1 -1 & 0 ], [rr 0 & -8 -12 & -4 ], [rr 1 & 0 -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que as quatro matrizes
A1=3&63&-6, A2=0&-1-1&0, A3=0&-8-12&-4, A4=1&0-1&2
formam uma base de M2,2. O conteúdo é Álgebra Linear: base de espaço vetorial, dimensão, independência linear e combinação linear. Vamos usar que dim(M2,2)=4 e mostrar que as 4 matrizes são linearmente independentes.

Passo 2

Lembra a definição de base? É um conjunto que gera o espaço e cujos vetores são linearmente independentes. Em espaços de dimensão finita, se o número de vetores é igual à dimensão e eles são LI, então formam base.
Para provar independência, consideramos
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 ;=; 0
e mostramos que isso força c1=c2=c3=c4=0.

Passo 3

Pra facilitar, vamos “achatar” cada matriz num vetor em Bbb R^4, empilhando linhas. Assim:
A1to (3,6,3,-6),; A2to (0,-1,-1,0),; A3to (0,-8,-12,-4),; A4to (1,0,-1,2)
Juntando como colunas, montamos a matriz
M= 3 & 0 & 0 & 1 6 & -1 & -8 & 0 3 & -1 & -12 & -1 -6& 0 & -4 & 2
As colunas de M são os vetores correspondentes a A1,dots,A4. Se det(M)neq0, elas são LI.

Passo 4

Vamos calcular det(M) expandindo pela primeira linha:
det(M) =3cdot C11 ;+;1cdot C14times(-1)^1+4 =3cdot M11;-;1cdot M14,
onde
M11=det-1&-8&0-1&-12&-10&-4&2
e
M14=det6&-1&-83&-1&-12-6&0&-4
– Para M11,
M11 =-1l((-12)cdot2-(-1)cdot(-4)r) -(-8)l((-1)cdot2-(-1)cdot0r) = -1(-24-4)-(-8)(-2) =28-16=12
– Para M14,
M14 =6l((-1)cdot(-4)-(-12)cdot0r) -(-1)l(3cdot(-4)-(-12)cdot(-6)r) -8l(3cdot0-(-1)cdot(-6)r) =6(4)-(-1)(-12-72)-8(-6) =24-84+48=-12
Logo
det(M)=3cdot12 - 1cdot(-12)=36+12=48neq0

Passo 5

Como det(M)neq0, as colunas são LI, ou seja
c1A1+c2A2+c3A3+c4A4=0 ;Longrightarrow; c1=c2=c3=c4=0
E temos 4 matrizes num espaço de dimensão 4, logo elas formam base de M2,2.

Resposta

As quatro matrizes são linearmente independentes e seu número coincide com a dimensão de M2,2, logo elas formam uma base de M2,2.

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