Questão 3: MHS e energia
Considere um sistema massa-mola em que a constante elástica é k=3,00 N / cm e a amplitude de oscilação é A=6,00 cm.
a) Determine a energia mecânica do sistema.
b) Qual a energia cinética quando o deslocamento da massa é metade da amplitude?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre Movimento Harmônico Simples (MHS) e energia. Temos um sistema massa-mola onde a constante elástica é k = 3,00 , N/cm e a amplitude da oscilação é A = 6,00 , cm. Precisamos calcular:
a) A energia mecânica do sistema.
b) A energia cinética quando o deslocamento da massa é metade da amplitude.
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de energia no MHS, que envolvem energia potencial elástica e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para o sistema internacional (SI). Sabemos que:
  • 1 , N/cm = 100 , N/m
  • 1 , cm = 0,01 , m
Então:
  • k = 3,00 , N/cm times 100 = 300 , N/m
  • A = 6,00 , cm times 0,01 = 0,06 , m

Passo 3

Agora, vamos para a parte a) determinar a energia mecânica do sistema. No MHS, a energia mecânica total ( E) é constante e igual à energia potencial máxima ou à energia cinética máxima. A fórmula é:
E = 12 k A^2

Passo 4

Substituindo os valores que já convertemos:
E = 12 times 300 , N/m times (0,06 , m)^2

Passo 5

Calculando o valor:
E = 12 times 300 times 0,0036
E = 150 times 0,0036
E = 0,54 , J

Passo 6

Agora, para a parte b) queremos a energia cinética quando o deslocamento ( x) é metade da amplitude. Primeiro, vamos achar o deslocamento:
x = A2 = 0,06 , m2 = 0,03 , m

Passo 7

A energia cinética ( K) no MHS é dada por:
K = E - 12 k x^2
Já que E é a energia total que calculamos como 0,54 J.

Passo 8

Substituindo os valores:
K = 0,54 , J - 12 times 300 , N/m times (0,03 , m)^2

Passo 9

Calculando:
K = 0,54 - 12 times 300 times 0,0009
K = 0,54 - 150 times 0,0009
K = 0,54 - 0,135
K = 0,405 , J

Resposta

a) A energia mecânica do sistema é 0,54 , J.
b) A energia cinética quando o deslocamento da massa é metade da amplitude é 0,405 , J.

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