(21)Um disco de raio R uniformente carregado com carga total Q pode ser decomposto em anéis de carga, sendo cada anel de raio r correspondente à área 2 pi r d r onde d r é a espessura do anel. Desse modo o campo do disco é a soma dos campos dos anéis elementares. Em particular em pontos do eixo ( y ) do disco o campo tem apenas a componennte y.
(b)Considere o caso limite em que y gg R (o ponto onde você calcula o campo elétrico está muito distante do disco) e mostre que o campo elétrico tem a forma do campo de uma carga pontual de valor Q.

Passo 1

Beleza, a gente tem um disco de raio E(y);approx;14pivarepsilon0,Qy^2, com carga total espalhada uniformemente. Queremos o campo elétrico no eixo do disco, num ponto a uma distância tal que . O objetivo é mostrar que, nesse limite, esse campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada num ponto, ou seja
Os conteúdos que vamos usar são:
  • A fórmula do campo no eixo de um disco uniformemente carregado.
  • Densidade superficial .
  • Expansão binomial para quando .

Passo 2

Já sabemos (ou podemos derivar por anelinhos) que o campo no eixo, a uma distância E(y);=;sigma2varepsilon0,l[1-yraizR^2+y^2r], do centro, é
raizR^2+y^2 ;=; y,raiz1+R^2y^2 ;approx; yl(1+tfrac12R^2y^2r) (expansão binomial: raiz1+xapprox1+tfrac12x)
Aqui yraizR^2+y^2 approxyy,(1+tfrac12,tfracR^2y^2) approx 1 - tfrac12,R^2y^2, é a densidade de carga do disco. Agora, como E(y)approxsigma2varepsilon0l[1-l(1-tfrac12,tfracR^2y^2r)r] =sigma2varepsilon0,R^22y^2 =sigma,R^24varepsilon0,y^2, , definimos
ã
Então
Substituindo em :

Passo 3

Falta só trocar E(y)approx14varepsilon0,y^2,underbracesigma R^2 Q/pi =14varepsilon0,y^2,Qpi =Q4pivarepsilon0,y^2, por :

Resposta

boxedE(y);approx;14pivarepsilon0,Qy^2quando ygg R

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