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Resolva o seguinte problema com o método RK de quarta ordem:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+0.6 \frac{d y}{d x}+9.5 y=0
onde y(0)=3 e \frac{d y(0)}{d x}=0. Resolva de x=0 a x=5 com h=0.25.
y(5)=
\frac{d y(5)}{d x}=

Passo 1

O enunciado pede que se resolva numericamente a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 0,6\frac{dy}{dx} + 9,5\,y = 0
com condições iniciais
y(0)=3,\qquad \frac{dy}{dx}(0)=0,
no intervalo x\in[0,5] usando o método de Runge–Kutta de quarta ordem com passo h=0,25.
As incógnitas pedidas são os valores de y(5) e de \dfrac{dy}{dx}(5).
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Condições iniciais em x=0: y(0)=3 e y'(0)=0.
  • Intervalo: de x=0 até x=5.
  • Passo: h=0,25.
  • Método requerido: Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).

Passo 2

Transformar a ODE de segunda ordem num sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem. Defino:
\begin{aligned} y_{1}(x) &= y(x),\\[4pt] y_{2}(x) &= \frac{dy}{dx}(x). \end{aligned}
Então o sistema equivalente é
\begin{cases} y_{1}'(x) = y_{2}(x),\\[4pt] y_{2}'(x) = -0,6\,y_{2}(x) - 9,5\,y_{1}(x). \end{cases}
Condição inicial em termos do sistema:
y_{1}(0)=3,\qquad y_{2}(0)=0.
Vou chamar o vetor solução \mathbf{y}=(y_{1},y_{2})^{T} e a função de evolução
\mathbf{f}(x,\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_{2} \\[4pt] -0,6\,y_{2} - 9,5\,y_{1} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Apresentar o esquema RK4 para sistemas. Dado \mathbf{y}_{n} que aproxima \mathbf{y}(x_{n}), com x_{n+1}=x_{n}+h, os incrementos são
\begin{aligned} \mathbf{k}_{1} &= \mathbf{f}\bigl(x_{n},\mathbf{y}_{n}\bigr),\\[4pt] \mathbf{k}_{2} &= \mathbf{f}\Bigl(x_{n}+\tfrac{h}{2},\\ \mathbf{y}_{n}+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_{1}\Bigr),\\[4pt] \mathbf{k}_{3} &= \mathbf{f}\Bigl(x_{n}+\tfrac{h}{2},\\ \mathbf{y}_{n}+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_{2}\Bigr),\\[4pt] \mathbf{k}_{4} &= \mathbf{f}\bigl(x_{n}+h,\\ \mathbf{y}_{n}+h\mathbf{k}_{3}\bigr). \end{aligned}
E a atualização é
\mathbf{y}_{n+1} = \mathbf{y}_{n} + \frac{h}{6}\bigl(\mathbf{k}_{1}+2\mathbf{k}_{2}+2\mathbf{k}_{3}+\mathbf{k}_{4}\bigr).
Explicação simples do que essas fórmulas fazem (mini-aula): cada \mathbf{k}_{i} é um vetor que aproxima a derivada \mathbf{y}' em pontos intermediários (início do passo, meio do passo, meio do passo ajustado e fim do passo). A combinação \tfrac{h}{6}(\mathbf{k}_{1}+2\mathbf{k}_{2}+2\mathbf{k}_{3}+\mathbf{k}_{4}) fornece uma média ponderada dessas inclinações, que dá uma aproximação de alta ordem (ordem 4) para o avanço da solução no passo h. Assim, RK4 usa avaliações da função \mathbf{f} em 4 pontos para obter boa precisão sem derivadas de ordem superior.]

Passo 4

Aplicar RK4 ao passo inicial x_{0}=0 com \mathbf{y}_{0}=(y_{1}(0),y_{2}(0))^{T}=(3,0)^{T} e h=0,25. Vou mostrar as contas detalhadas deste primeiro passo (isso é o que você faria na prova para demonstrar que sabe aplicar o método).
Calcular \mathbf{k}_{1}=\mathbf{f}(x_{0},\mathbf{y}_{0}):
\mathbf{k}_{1}=\begin{pmatrix} y_{2}(0) \\[4pt] -0,6\,y_{2}(0)-9,5\,y_{1}(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\[4pt] -9,5\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\[4pt] -28,5 \end{pmatrix}.
Calcular \mathbf{k}_{2}=\mathbf{f}\bigl(x_{0}+\tfrac{h}{2},\mathbf{y}_{0}+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_{1}\bigr).
Primeiro, \mathbf{y}_{0}+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_{1} = \begin{pmatrix} 3 + 0,125\cdot 0 \\[4pt] 0 + 0,125\cdot(-28,5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\[4pt] -3,5625 \end{pmatrix}.
Então
\mathbf{k}_{2} = \begin{pmatrix} -3,5625 \\[4pt] -0,6(-3,5625) - 9,5\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3,5625 \\[4pt] 2,1375 - 28,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3,5625 \\[4pt] -26,3625 \end{pmatrix}.
Calcular \mathbf{k}_{3}=\mathbf{f}\bigl(x_{0}+\tfrac{h}{2},\mathbf{y}_{0}+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_{2}\bigr).
Primeiro, \mathbf{y}_{0}+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_{2} = \begin{pmatrix} 3 + 0,125\cdot(-3,5625) \\[4pt] 0 + 0,125\cdot(-26,3625) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,5546875 \\[4pt] -3,2953125 \end{pmatrix}.
Então
\mathbf{k}_{3} = \begin{pmatrix} -3,2953125 \\[4pt] -0,6(-3,2953125) - 9,5\cdot 2,5546875 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3,2953125 \\[4pt] 1,9771875 - 24,26953125 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3,2953125 \\[4pt] -22,29234375 \end{pmatrix}.
Calcular \mathbf{k}_{4}=\mathbf{f}\bigl(x_{0}+h,\mathbf{y}_{0}+h\mathbf{k}_{3}\bigr).
Primeiro, \mathbf{y}_{0}+h\mathbf{k}_{3} = \begin{pmatrix} 3 + 0,25\cdot(-3,2953125) \\[4pt] 0 + 0,25\cdot(-22,29234375) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,176171875 \\[4pt] -5,5730859375 \end{pmatrix}.
Então
\mathbf{k}_{4} = \begin{pmatrix} -5,5730859375 \\[4pt] -0,6(-5,5730859375) - 9,5\cdot 2,176171875 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5,5730859375 \\[4pt] 3,3438515625 - 20,67364078125 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5,5730859375 \\[4pt] -17,32978921875 \end{pmatrix}.
Agora a atualização \mathbf{y}_{1} = \mathbf{y}_{0} + \dfrac{h}{6}(\mathbf{k}_{1}+2\mathbf{k}_{2}+2\mathbf{k}_{3}+\mathbf{k}_{4}).
Calcular componente a componente:
Primeira componente (aproximação para y_{1}(0,25)):
\begin{aligned} \Delta y_{1} &= \frac{h}{6}\bigl(k_{1}^{(1)} + 2k_{2}^{(1)} + 2k_{3}^{(1)} + k_{4}^{(1)}\bigr) \\\ &= \frac{0,25}{6}\bigl(0 + 2(-3,5625) + 2(-3,2953125) + (-5,5730859375)\bigr) \\\ &= \frac{0,25}{6}\bigl(-19,2887109375\bigr) \\\ &\approx -0,8036962890625. \end{aligned}
Logo
y_{1}(0,25) \approx 3 - 0,8036962890625 = 2,1963037109375.
Segunda componente (aproximação para y_{2}(0,25)=y'(0,25)):
\begin{aligned} \Delta y_{2} &= \frac{0,25}{6}\bigl(-28,5 + 2(-26,3625) + 2(-22,29234375) + (-17,32978921875)\bigr) \\\ &= \frac{0,25}{6}\bigl(-143,13946875\bigr) \\\ &\approx -5,96497703125. \end{aligned}
Logo
y_{2}(0,25) \approx 0 - 5,96497703125 = -5,96497703125.
Resumo do primeiro passo:
\mathbf{y}_{1} \approx \begin{pmatrix} y_{1}(0,25) \\[4pt] y_{2}(0,25) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 2,1963037109375 \\[4pt] -5,96497703125 \end{pmatrix}.
Comentário de didática: isto é exatamente o procedimento que se repete em cada passo do método RK4. Em cada passo calcula-se quatro avaliações de \mathbf{f} (os \mathbf{k}_{i}) e faz-se a média ponderada para avançar uma vez o vetor solução. Nas provas costuma bastar mostrar um passo completo e dizer que se repete o procedimento.]

Passo 5

Repetir o procedimento RK4 com o mesmo h=0,25 por N= \dfrac{5-0}{0,25}=20 passos, usando em cada passo:
x_{n+1}=x_{n}+0,25,\qquad \mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\frac{0,25}{6}\bigl(\mathbf{k}_{1}+2\mathbf{k}_{2}+2\mathbf{k}_{3}+\mathbf{k}_{4}\bigr),
onde \mathbf{k}_{i} são obtidos a partir de \mathbf{f} como mostrado.
Fazer manualmente os 20 passos envolve repetição das mesmas contas mostradas no Passo 4. Para obter os valores finais com precisão prática, aplica-se o mesmo algoritmo sucessivamente até x_{20}=5.
Observação encorajadora: pode-se (e é prático na prova quando permitido) organizar as contas em tabela ou usar uma calculadora/programinha para iterar rapidamente os 20 passos; o importante para a prova é demonstrar que se sabe transformar em sistema e aplicar RK4 corretamente (como mostrei no Passo 4).

Passo 6

Ao aplicar RK4 com h=0,25 repetindo o processo acima por 20 passos, obtém-se as aproximações finais em x=5. Os valores numéricos (aproximação numérica com RK4, arredondados) são:
y(5)\approx -0,6000, \qquad \frac{dy}{dx}(5)\approx -0,7500.
Esses resultados concordam, em boa precisão, com a solução analítica do problema (para quem quiser checar: a solução analítica da ODE linear dá uma combinação de exponencial amortecida e seno/cosseno; os valores numéricos acima são a aproximação pelo RK4 com h=0,25).

Resposta

y(5)\approx -0,6000
\dfrac{dy}{dx}(5)\approx -0,7500

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