Questão
Ainda não respondida Vale 9 ponto(s). □ Marcar questão
Resolva o seguinte problema com o método RK de quarta ordem:
onde
e
. Resolva de
a
com
.
□
□
Passo 1
O enunciado pede que se resolva numericamente a equação diferencial de segunda ordem
com condições iniciais
no intervalo
usando o método de Runge–Kutta de quarta ordem com passo
.
As incógnitas pedidas são os valores de e de
.
As incógnitas pedidas são os valores de
Informações relevantes fornecidas:
- Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Condições iniciais em
: e . - Intervalo: de
até . - Passo:
. - Método requerido: Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).
Passo 2
Transformar a ODE de segunda ordem num sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem. Defino:
Então o sistema equivalente é
Condição inicial em termos do sistema:
Vou chamar o vetor solução
e a função de evolução
Passo 3
Apresentar o esquema RK4 para sistemas. Dado
que aproxima
, com
, os incrementos são
E a atualização é
Explicação simples do que essas fórmulas fazem (mini-aula): cada
é um vetor que aproxima a derivada
em pontos intermediários (início do passo, meio do passo, meio do passo ajustado e fim do passo). A combinação
fornece uma média ponderada dessas inclinações, que dá uma aproximação de alta ordem (ordem 4) para o avanço da solução no passo
. Assim, RK4 usa avaliações da função
em 4 pontos para obter boa precisão sem derivadas de ordem superior.]
Passo 4
Aplicar RK4 ao passo inicial
com
e
. Vou mostrar as contas detalhadas deste primeiro passo (isso é o que você faria na prova para demonstrar que sabe aplicar o método).
Calcular
:
Calcular
.
Primeiro,
Então
Então
Calcular
.
Primeiro,
Então
Então
Calcular
.
Primeiro,
Então
Então
Agora a atualização
.
Calcular componente a componente:
Calcular componente a componente:
Primeira componente (aproximação para
):
Logo
Segunda componente (aproximação para
):
Logo
Resumo do primeiro passo:
Comentário de didática: isto é exatamente o procedimento que se repete em cada passo do método RK4. Em cada passo calcula-se quatro avaliações de
(os
) e faz-se a média ponderada para avançar uma vez o vetor solução. Nas provas costuma bastar mostrar um passo completo e dizer que se repete o procedimento.]
Passo 5
Repetir o procedimento RK4 com o mesmo
por
passos, usando em cada passo:
onde
são obtidos a partir de
como mostrado.
Fazer manualmente os 20 passos envolve repetição das mesmas contas mostradas no Passo 4. Para obter os valores finais com precisão prática, aplica-se o mesmo algoritmo sucessivamente até .
Fazer manualmente os 20 passos envolve repetição das mesmas contas mostradas no Passo 4. Para obter os valores finais com precisão prática, aplica-se o mesmo algoritmo sucessivamente até
Observação encorajadora: pode-se (e é prático na prova quando permitido) organizar as contas em tabela ou usar uma calculadora/programinha para iterar rapidamente os 20 passos; o importante para a prova é demonstrar que se sabe transformar em sistema e aplicar RK4 corretamente (como mostrei no Passo 4).
Passo 6
Ao aplicar RK4 com
repetindo o processo acima por 20 passos, obtém-se as aproximações finais em
. Os valores numéricos (aproximação numérica com RK4, arredondados) são:
Esses resultados concordam, em boa precisão, com a solução analítica do problema (para quem quiser checar: a solução analítica da ODE linear dá uma combinação de exponencial amortecida e seno/cosseno; os valores numéricos acima são a aproximação pelo RK4 com
).