Considere o seguinte PVI:
Calcule o valor de
usando um passo
usando:
Método de Heun:
-
□
Método de Heun:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede para calcular
usando o Método de Heun com passo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função derivada é
. - Condição inicial:
, . - Passo:
. - Ponto alvo:
.
Passo 2
O que é o Método de Heun (versão explícita/improved Euler) e como aplicá-lo:
- É um método de dois estágios que usa uma predição pelo Método de Euler explícito seguida de uma correção pela média das inclinações.
- Denotando
, as fórmulas entre os pontos e são:
- Aqui
é a aproximação em , é o valor predito em , e é a aproximação corrigida em . - Vamos aplicar isso passo a passo de
até (porque passos).]
Passo 3
Construção da malha de pontos (com
):
Começamos com
. Em cada iteração vamos:
- calcular
; - calcular
; - calcular
; - calcular
.
Vou mostrar todos os cálculos numéricos com cuidado.
Passo 4
Preditor:
Avaliar a inclinação no ponto predito:
Corretor:
Passo 5
Calcular
:
Preditor:
Calcular
(aqui peguei
e
):
Corretor:
Passo 6
Calcular
:
Preditor:
Calcular
(aqui
,
):
Corretor:
Passo 7
Calcular
:
Preditor:
Calcular
(aqui
,
):
Corretor:
Passo 8
Calcular
:
Preditor:
Calcular
(aqui
,
):
Corretor:
Passo 9
Calcular
:
Preditor:
Calcular
(aqui
,
):
Corretor final: