Considere o seguinte PVI:
\left\{\begin{aligned} y^{\prime} & =y x^{2}-2 y \\\ y(0) & =0.5 \end{aligned}\right.
Calcule o valor de y(1.2) usando um passo h=0.2 usando:
Método de Heun:
  • y(1.2)=

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{aligned} y'(x)&=y(x)\,x^{2}-2y(x)\\\ y(0)&=0,5 \end{aligned}\right.
e pede para calcular y(1,2) usando o Método de Heun com passo h=0,2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função derivada é f(x,y)=y(x^{2}-2).
  • Condição inicial: x_{0}=0, y_{0}=0,5.
  • Passo: h=0,2.
  • Ponto alvo: x=1,2.

Passo 2

O que é o Método de Heun (versão explícita/improved Euler) e como aplicá-lo:
  • É um método de dois estágios que usa uma predição pelo Método de Euler explícito seguida de uma correção pela média das inclinações.
  • Denotando f(x,y)=y(x^{2}-2), as fórmulas entre os pontos x_{n} e x_{n+1}=x_{n}+h são:
\begin{aligned} \tilde{y}_{n+1}&=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n})\quad\text{(preditor pelo Euler explícito)}\\[4pt] y_{n+1}&=y_{n}+\dfrac{h}{2}\bigl(f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\bigr)\quad\text{(corretor, média das inclinações)} \end{aligned}íéçõ
  • Aqui y_{n} é a aproximação em x_{n}, \tilde{y}_{n+1} é o valor predito em x_{n+1}, e y_{n+1} é a aproximação corrigida em x_{n+1}.
  • Vamos aplicar isso passo a passo de x_{0}=0 até x_{6}=1,2 (porque (1,2-0)/0,2=6 passos).]

Passo 3

Construção da malha de pontos (com h=0,2):
x_{0}=0,\; x_{1}=0,2,\; x_{2}=0,4,\; x_{3}=0,6,\; x_{4}=0,8,\; x_{5}=1,0,\; x_{6}=1,2.
Começamos com y_{0}=0,5. Em cada iteração vamos:
  1. calcular f(x_{n},y_{n})=y_{n}(x_{n}^{2}-2);
  2. calcular \tilde{y}_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n});
  3. calcular f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})=\tilde{y}_{n+1}(x_{n+1}^{2}-2);
  4. calcular y_{n+1}=y_{n}+\dfrac{h}{2}\bigl(f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\bigr).
Vou mostrar todos os cálculos numéricos com cuidado.

Passo 4

f(x_{0},y_{0})=y_{0}(x_{0}^{2}-2)=0,5\cdot(0^{2}-2)=0,5\cdot(-2)=-1.
Preditor:
\tilde{y}_{1}=y_{0}+h\,f(x_{0},y_{0})=0,5+0,2\cdot(-1)=0,3.
Avaliar a inclinação no ponto predito:
f(x_{1},\tilde{y}_{1})=\tilde{y}_{1}(x_{1}^{2}-2)=0,3\cdot(0,2^{2}-2)=0,3\cdot(0,04-2)=0,3\cdot(-1,96)=-0,588.
Corretor:
y_{1}=0,5+\dfrac{0,2}{2}\bigl(-1+(-0,588)\bigr)=0,5+0,1\cdot(-1,588)=0,5-0,1588=0,3412.

Passo 5

Calcular f(x_{1},y_{1}):
f(x_{1},y_{1})=0,3412\cdot(0,2^{2}-2)=0,3412\cdot(-1,96)=-0,668752.
Preditor:
\tilde{y}_{2}=0,3412+0,2\cdot(-0,668752)=0,3412-0,1337504=0,2074496.
Calcular f(x_{2},\tilde{y}_{2}) (aqui peguei x_{2}=0,4 e x_{2}^{2}=0,16):
f(x_{2},\tilde{y}_{2})=0,2074496\cdot(0,16-2)=0,2074496\cdot(-1,84)=-0,381707264.
Corretor:
y_{2}=0,3412+0,1\bigl(-0,668752+(-0,381707264)\bigr)=0,3412+0,1\cdot(-1,050459264)=0,3412-0,1050459264=0,2361540736.

Passo 6

Calcular f(x_{2},y_{2}):
f(x_{2},y_{2})=0,2361540736\cdot(0,16-2)=0,2361540736\cdot(-1,84)=-0,434523495424.
Preditor:
\tilde{y}_{3}=0,2361540736+0,2\cdot(-0,434523495424)=0,2361540736-0,0869046990848=0,1492493746152.
Calcular f(x_{3},\tilde{y}_{3}) (aqui x_{3}=0,6, x_{3}^{2}=0,36):
f(x_{3},\tilde{y}_{3})=0,1492493746152\cdot(0,36-2)=0,1492493746152\cdot(-1,64)=-0,244768974368928.
Corretor:
y_{3}=0,2361540736+0,1\bigl(-0,434523495424+(-0,244768974368928)\bigr)
\quad =0,2361540736+0,1\cdot(-0,679292469792928)=0,2361540736-0,0679292469792928=0,1682248266207072.

Passo 7

Calcular f(x_{3},y_{3}):
f(x_{3},y_{3})=0,1682248266207072\cdot(0,36-2)=0,1682248266207072\cdot(-1,64)=-0,2758887156562718.
Preditor:
\tilde{y}_{4}=0,1682248266207072+0,2\cdot(-0,2758887156562718)=0,1682248266207072-0,05517774313125436=0,11304708348945284.
Calcular f(x_{4},\tilde{y}_{4}) (aqui x_{4}=0,8, x_{4}^{2}=0,64):
f(x_{4},\tilde{y}_{4})=0,11304708348945284\cdot(0,64-2)=0,11304708348945284\cdot(-1,36)=-0,15374402354565586.
Corretor:
y_{4}=0,1682248266207072+0,1\bigl(-0,2758887156562718+(-0,15374402354565586)\bigr)
\quad =0,1682248266207072+0,1\cdot(-0,42963273920192766)=0,1682248266207072-0,042963273920192766=0,12526155270051443.

Passo 8

Calcular f(x_{4},y_{4}):
f(x_{4},y_{4})=0,12526155270051443\cdot(0,64-2)=0,12526155270051443\cdot(-1,36)=-0,17035571167269963.
Preditor:
\tilde{y}_{5}=0,12526155270051443+0,2\cdot(-0,17035571167269963)=0,12526155270051443-0,034071142334539926=0,0911904103659745.
Calcular f(x_{5},\tilde{y}_{5}) (aqui x_{5}=1,0, x_{5}^{2}=1):
f(x_{5},\tilde{y}_{5})=0,0911904103659745\cdot(1-2)=0,0911904103659745\cdot(-1)=-0,0911904103659745.
Corretor:
y_{5}=0,12526155270051443+0,1\bigl(-0,17035571167269963+(-0,0911904103659745)\bigr)
\quad =0,12526155270051443+0,1\cdot(-0,26154612203867413)=0,12526155270051443-0,026154612203867413=0,09910694049664702.

Passo 9

Calcular f(x_{5},y_{5}):
f(x_{5},y_{5})=0,09910694049664702\cdot(1-2)=0,09910694049664702\cdot(-1)=-0,09910694049664702.
Preditor:
\tilde{y}_{6}=0,09910694049664702+0,2\cdot(-0,09910694049664702)=0,09910694049664702-0,019821388099329404=0,07928555239731762.
Calcular f(x_{6},\tilde{y}_{6}) (aqui x_{6}=1,2, x_{6}^{2}=1,44):
f(x_{6},\tilde{y}_{6})=0,07928555239731762\cdot(1,44-2)=0,07928555239731762\cdot(-0,56)=-0,04439990934249787.
Corretor final:
y_{6}=0,09910694049664702+0,1\bigl(-0,09910694049664702+(-0,04439990934249787)\bigr)
\quad =0,09910694049664702+0,1\cdot(-0,14350684983914489)=0,09910694049664702-0,014350684983914489=0,08475625551273253.

Resposta

0,08475625551273253

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