Questão 1: Em um modelo keynesiano simples, são dadas as seguintes funções:
\mathrm{C}=200+0,76 \mathrm{Yd}
\mathrm{I}=20+0,12 \mathrm{Y}-4 \mathrm{i}
G =900
\mathrm{X}=100
\mathrm{M}=100+0,045 \mathrm{Y}
\mathrm{T}=50+0,1 \mathrm{Y}
\mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T}
\mathrm{i}=2
Os impostos possuem uma parcela autônoma (50) e uma parte proporcional (0,1 \mathrm{Y}). Explique como esses dois componentes impactam o consumo e o efeito multiplicador na economia.

Passo 1

Lista do que o enunciado dá (copiando as equações tal como estão) e o que pede:
\mathrm{C}=200+0,76\,\mathrm{Yd}
\mathrm{I}=20+0,12\,\mathrm{Y}-4\,\mathrm{i}
G=900
\mathrm{X}=100
\mathrm{M}=100+0,045\,\mathrm{Y}
\mathrm{T}=50+0,1\,\mathrm{Y}
\mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T}
\mathrm{i}=2
Pergunta do enunciado: explicar como os dois componentes dos impostos — a parcela autônoma ( 50) e a parcela proporcional ( 0,1\,Y) — impactam o consumo e o efeito multiplicador na economia.

Passo 2

Calcular explicitamente a renda disponível \mathrm{Yd} em termos de \mathrm{Y}. Substituindo \mathrm{T} em \mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T}:
\mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-(50+0,1\,\mathrm{Y})=\mathrm{Y}-50-0,1\,\mathrm{Y}=0,9\,\mathrm{Y}-50.
Explicação didática rápida: a renda disponível é a renda total \mathrm{Y} menos impostos. Aqui há um componente fixo (50) e um que corta uma fração 0,1 da renda.

Passo 3

Substituir \mathrm{Yd} na função consumo para ver como o imposto afeta a função consumo:
\mathrm{C}=200+0,76\,\mathrm{Yd}=200+0,76(0,9\,\mathrm{Y}-50).
Fazer as multiplicações e simplificar passo a passo:
0,76\cdot 0,9\,\mathrm{Y}=0,684\,\mathrm{Y},
0,76\cdot 50=38.
Logo
\mathrm{C}=200+0,684\,\mathrm{Y}-38=162+0,684\,\mathrm{Y}.
Interpretação didática: a forma final mostra que o consumo tem uma parte autônoma \,162 e uma parte que varia com a renda \,0,684\,\mathrm{Y}. O imposto autônomo de 50 reduziu a parte autônoma do consumo em 38 porque os consumidores gastam 0,76 de cada unidade de renda disponível; portanto um corte da renda disponível fixa em 50 diminui consumo autônomo em 0,76\cdot 50=38.

Passo 4

Explicar o efeito do componente autônomo do imposto (o 50) sobre consumo e multiplicador:
  • O componente autônomo é um imposto fixo (tipo lump-sum). Ele reduz a parte autônoma do consumo (a constante) porque diminui a renda disponível mesmo quando \mathrm{Y} é pequeno. No nosso cálculo a constante do consumo caiu de 200 para 162 devido a esse imposto.
  • Importante: um imposto autônomo muda o nível autônomo de demanda (desloca a função de consumo para baixo) mas, sendo fixo, não altera a propensão marginal a consumir. Logo ele não altera a taxa de variação do consumo quando a renda muda — por isso, isoladamente, não altera o multiplicador (o multiplicador depende da propensão marginal a gastar, não da componente autônoma).
    Exemplo numérico intuitivo: se o imposto fosse só esse 50 e não houvesse imposto proporcional, você simplesmente teria uma menor renda de equilíbrio, mas o multiplicador (o quanto a renda muda quando gasto autônomo muda) permaneceria baseado em c, importações etc.

Passo 5

Explicar o efeito da parcela proporcional do imposto ( 0,1\,\mathrm{Y}):
  • A parcela proporcional retira uma fração t=0,1 da renda a cada aumento de \mathrm{Y}. Isso significa que, de cada unidade adicional de renda, só fica disponível para consumo uma fração 1-t.
  • Matematicamente a propensão marginal a consumir efetiva passa de c=0,76 para c(1-t)=0,76(1-0,1)=0,76\cdot 0,9=0,684. Ou seja, a parcela proporcional reduz a propensão marginal a consumir efetiva.
  • Consequência: o multiplicador diminui, porque o multiplicador depende da soma das propensões marginais a gastar (consumo induzido, investimento induzido, importações, etc.). Menor propensão marginal a consumir significa que uma variação de gasto autônomo é menos amplificada pela economia.

Passo 6

Agora montamos a demanda agregada (procura agregada) Z para ver o coeficiente agregado e extrair o multiplicador. Primeiro calcular o investimento com \mathrm{i}=2:
\mathrm{I}=20+0,12\,\mathrm{Y}-4\cdot 2=20+0,12\,\mathrm{Y}-8=12+0,12\,\mathrm{Y}.
Temos \mathrm{M}=100+0,045\,\mathrm{Y}. A demanda agregada em economia aberta é
Z=\mathrm{C}+\mathrm{I}+G+X-\mathrm{M}.
Substituindo as expressões já encontradas:
\mathrm{C}=162+0,684\,\mathrm{Y},\quad \mathrm{I}=12+0,12\,\mathrm{Y},\quad G=900,\quad X=100,\quad \mathrm{M}=100+0,045\,\mathrm{Y}.

Passo 7

Somar constantes e coeficientes de \mathrm{Y} em Z passo a passo:
Constantes:
162+12+900+100-100=1074.
Coeficientes de \mathrm{Y}:
0,684+0,12-0,045=0,759.
Logo
Z=1074+0,759\,\mathrm{Y}.
Equilíbrio: \mathrm{Y}=Z. Isolando \mathrm{Y}:
\mathrm{Y}=1074+0,759\,\mathrm{Y}\quad\Rightarrow\quad (1-0,759)\,\mathrm{Y}=1074.
0,241\,\mathrm{Y}=1074\quad\Rightarrow\quad \mathrm{Y}=\frac{1074}{0,241}\approx 4456,43.
O multiplicador aqui é
\text{multiplicador}=\frac{1}{1-0,759}=\frac{1}{0,241}\approx 4,15.

Passo 8

Comparação numérica para ver claramente o papel da parcela proporcional:
  • Se não houvesse imposto proporcional ( t=0) — mantendo o resto igual — a propensão marginal a consumir seria 0,76, então o coeficiente agregado seria
z_{\text{sem }t}=0,76+0,12-0,045=0,835
e o multiplicador seria
\frac{1}{1-0,835}=\frac{1}{0,165}\approx 6,06.
  • Com t=0,1 o multiplicador caiu para cerca de 4,15. Conclusão numérica e intuitiva: a parcela proporcional reduz fortemente o multiplicador (de ≈6,06 para ≈4,15), tornando a economia menos sensível a choques de gasto autônomo. Já a parcela autônoma desloca o nível de consumo (a constante) mas, isoladamente, não altera o multiplicador.

Passo 9

Resumo didático e dica para prova (como reconhecer rápido):
  • Identifique T=T_0+tY. Substitua em Yd=Y-T e depois em C. Isso mostra imediatamente que T_0 afeta a constante do consumo (reduz o consumo autônomo em c\cdot T_0) e que t reduz a propensão marginal a consumir efetiva de c para c(1-t).
  • Para calcular o multiplicador em abertura com importações e investimento induzido, calcule a soma das propensões marginais a gastar: z=c(1-t)+\text{coeficiente de }Y\text{ em }I - m. Depois \text{multiplicador}=1/(1-z).
  • Em provas, explique separadamente (1) efeito sobre nível (autônomo) e (2) efeito sobre sensibilidade/multiplicador (proporcional).

Resposta

O componente autônomo ( 50) reduz o consumo autônomo em 0,76\cdot 50=38 (a constante do consumo passa de 200 para 162), deslocando para baixo a curva de consumo e diminuindo a renda de equilíbrio, mas, por ser lump-sum, não altera o multiplicador.
A parcela proporcional ( 0,1\,\mathrm{Y}) reduz a propensão marginal a consumir efetiva de 0,76 para 0,76(1-0,1)=0,684, o que diminui o multiplicador (no cálculo completo o multiplicador passa de ≈ 6,06 sem o imposto proporcional para ≈ 4,15 com ele), tornando a economia menos sensível a variações de gasto autônomo.

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