Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
Enunciado e dados (o que a questão pede e o que foi dado)\n
Temos o problema de valor inicial
Temos o problema de valor inicial
com condições iniciais
A tarefa é encontrar a solução
que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais. Todas as informações relevantes já estão acima: a equação, o termo fonte
e as condições iniciais.
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace e lembrar as fórmulas básicas (aula rápida)\n
Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Vou anotar a fórmula que usaremos para derivadas: se , então
Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Vou anotar a fórmula que usaremos para derivadas: se
Também usaremos a fórmula para potências de
:
Agora transformo cada termo da equação:
No lado direito:
Passo 3
Montar a equação algébrica em
e isolar
\n
Somando as transformadas do lado esquerdo obtemos
Somando as transformadas do lado esquerdo obtemos
Como
, temos
Observe que
(raiz dupla em
). Assim
Separei em três parcelas porque cada uma será invertida separadamente.
Passo 4
Plano para inverter
\n
Vamos inverter cada parcela:
Vamos inverter cada parcela:
-
. -
. -
.
A parcela
é a mais simples;
pede frações parciais com pólos simples e duplos;
tem pólos em
de ordem 4 e em
de ordem 2, então também faremos frações parciais. Vou inverter cada uma com detalhes.
Passo 5
Inversão de
\n
Escrevo o numerador como deslocamento:
Escrevo o numerador como deslocamento:
então
Usando
e
, com
, obtemos
Passo 6
Inversão de
por frações parciais\n
Procuramos
Procuramos
Multiplicando por
:
Avalio em
:
Avalio em
:
Para
uso o termo em
: expandindo e comparando coeficientes dá
, logo
Agora aplico inversa de cada fração:
Substituindo números:
Passo 7
Inversão de
por frações parciais (detalhado)\n
Vamos escrever
Vamos escrever
Multiplico por
e obtenho um polinômio que deve ser igual a
. Uma maneira eficiente é avaliar em pontos e comparar coeficientes. Avaliando em
:
Avaliando em
:
Agora desenvolvendo e comparando coeficientes de potências de
(ou usando sistema linear) obtemos, depois de calcular com cuidado, os demais coeficientes:
(Se quiser conferir: essas constantes satisfazem o sistema obtido ao igualar coeficientes de
.)
Agora aplicamos as transformadas inversas termo a termo:
Somando estes termos obtemos
Passo 8
Somar as inversas
e simplificar (verificação das constantes)\n
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Agora somo termo a termo. Os termos constantes
e
se cancelam. Agrupando os termos polinomiais e exponenciais:
- Polinomial:
. - Termos em
: , então . - Termos em
(sem ): , então .
Logo a soma dá
É bom conferir rapidamente as condições iniciais:
e diferenciando e avaliando em
obtemos
(a verificação bate), então está consistente.