Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2,25 y=9 t^{3}+64, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=31,5

Passo 1

Enunciado e dados (o que a questão pede e o que foi dado)\n
Temos o problema de valor inicial
y'' + 3y' + 2{,}25\,y = 9t^{3} + 64,
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=31{,}5.
A tarefa é encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais. Todas as informações relevantes já estão acima: a equação, o termo fonte 9t^3+64 e as condições iniciais.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace e lembrar as fórmulas básicas (aula rápida)\n
Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Vou anotar a fórmula que usaremos para derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Também usaremos a fórmula para potências de t:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
Agora transformo cada termo da equação:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\cdot 1 - 31{,}5,
\mathcal{L}\{3y'\}=3\bigl(sY(s)-1\bigr)=3sY(s)-3,
\mathcal{L}\{2{,}25\,y\}=2{,}25\,Y(s).
No lado direito:
\mathcal{L}\{9t^{3}\}=9\cdot\frac{3!}{s^{4}}=9\cdot\frac{6}{s^{4}}=\frac{54}{s^{4}},
\mathcal{L}\{64\}=\frac{64}{s}.

Passo 3

Montar a equação algébrica em Y(s) e isolar Y(s)\n
Somando as transformadas do lado esquerdo obtemos
\bigl(s^{2}+3s+2{,}25\bigr)Y(s)-s-31{,}5-3 = \frac{54}{s^{4}}+\frac{64}{s}.
Como -31{,}5-3=-34{,}5, temos
\bigl(s^{2}+3s+2{,}25\bigr)Y(s)=\frac{54}{s^{4}}+\frac{64}{s}+s+34{,}5.
Observe que s^{2}+3s+2{,}25=(s+1{,}5)^{2} (raiz dupla em s=-1{,}5). Assim
Y(s)=\frac{54}{s^{4}(s+1{,}5)^{2}}+\frac{64}{s(s+1{,}5)^{2}}+\frac{s+34{,}5}{(s+1{,}5)^{2}}.
Separei em três parcelas porque cada uma será invertida separadamente.

Passo 4

Plano para inverter Y(s)\n
Vamos inverter cada parcela:
  1. Y_{1}(s)=\dfrac{54}{s^{4}(s+1{,}5)^{2}}.
  2. Y_{2}(s)=\dfrac{64}{s(s+1{,}5)^{2}}.
  3. Y_{3}(s)=\dfrac{s+34{,}5}{(s+1{,}5)^{2}}.
A parcela Y_{3} é a mais simples; Y_{2} pede frações parciais com pólos simples e duplos; Y_{1} tem pólos em s=0 de ordem 4 e em s=-1{,}5 de ordem 2, então também faremos frações parciais. Vou inverter cada uma com detalhes.

Passo 5

Inversão de Y_{3}(s)=\dfrac{s+34{,}5}{(s+1{,}5)^{2}}\n
Escrevo o numerador como deslocamento:
s+34{,}5=(s+1{,}5)+33,
então
\frac{s+34{,}5}{(s+1{,}5)^{2}}=\frac{s+1{,}5}{(s+1{,}5)^{2}}+\frac{33}{(s+1{,}5)^{2}}=\frac{1}{s+1{,}5}+\frac{33}{(s+1{,}5)^{2}}.
Usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t} e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+a)^{2}}\}=t e^{-a t}, com a=1{,}5, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\{Y_{3}(s)\}=e^{-1{,}5t}+33\,t e^{-1{,}5t}.

Passo 6

Inversão de Y_{2}(s)=\dfrac{64}{s(s+1{,}5)^{2}} por frações parciais\n
Procuramos
\frac{64}{s(s+1{,}5)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1{,}5}+\frac{C}{(s+1{,}5)^{2}}.
Multiplicando por s(s+1{,}5)^{2}:
64=A(s+1{,}5)^{2}+B s(s+1{,}5)+C s.
Avalio em s=0:
64=A(1{,}5)^{2}=2{,}25A\quad\Rightarrow\quad A=\frac{64}{2{,}25}=\frac{256}{9}.
Avalio em s=-1{,}5:
64=C(-1{,}5)\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{64}{1{,}5}=-\frac{128}{3}.
Para B uso o termo em s^{2}: expandindo e comparando coeficientes dá A+B=0, logo
B=-A=-\frac{256}{9}.
Agora aplico inversa de cada fração:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{A}{s}\}=A,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{B}{s+1{,}5}\}=B e^{-1{,}5t},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{C}{(s+1{,}5)^{2}}\}=C\,t e^{-1{,}5t}.
Substituindo números:
\mathcal{L}^{-1}\{Y_{2}\}=\frac{256}{9}-\frac{256}{9}e^{-1{,}5t}-\frac{128}{3}\,t e^{-1{,}5t}.

Passo 7

Inversão de Y_{1}(s)=\dfrac{54}{s^{4}(s+1{,}5)^{2}} por frações parciais (detalhado)\n
Vamos escrever
\frac{54}{s^{4}(s+1{,}5)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{D}{s^{4}}+\frac{E}{s+1{,}5}+\frac{F}{(s+1{,}5)^{2}}.
Multiplico por s^{4}(s+1{,}5)^{2} e obtenho um polinômio que deve ser igual a 54. Uma maneira eficiente é avaliar em pontos e comparar coeficientes. Avaliando em s=0:
54=D(1{,}5)^{2}=2{,}25D\quad\Rightarrow\quad D=\frac{54}{2{,}25}=24.
Avaliando em s=-1{,}5:
54=F(-1{,}5)^{4}=F\Bigl(\frac{81}{16}\Bigr)\quad\Rightarrow\quad F=\frac{54}{81/16}=\frac{54\cdot16}{81}=\frac{32}{3}.
Agora desenvolvendo e comparando coeficientes de potências de s (ou usando sistema linear) obtemos, depois de calcular com cuidado, os demais coeficientes:
A=-\frac{256}{9},\qquad B=32,\qquad C=-32,\qquad D=24,\qquad E=\frac{256}{9},\qquad F=\frac{32}{3}.
(Se quiser conferir: essas constantes satisfazem o sistema obtido ao igualar coeficientes de s^{5},s^{4},\dots,s^{0}.)
Agora aplicamos as transformadas inversas termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{A}{s}\}=-\frac{256}{9},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{B}{s^{2}}\}=32\,t,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{C}{s^{3}}\}=-32\cdot\frac{t^{2}}{2}=-16\,t^{2},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{D}{s^{4}}\}=24\cdot\frac{t^{3}}{6}=4\,t^{3},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{E}{s+1{,}5}\}=\frac{256}{9}e^{-1{,}5t},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{F}{(s+1{,}5)^{2}}\}=\frac{32}{3}\,t e^{-1{,}5t}.
Somando estes termos obtemos
\mathcal{L}^{-1}\{Y_{1}\}=4t^{3}-16t^{2}+32t-\frac{256}{9}+\frac{256}{9}e^{-1{,}5t}+\frac{32}{3}t e^{-1{,}5t}.

Passo 8

Somar as inversas Y_{1},Y_{2},Y_{3} e simplificar (verificação das constantes)\n
Juntando os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{L}^{-1}\{Y_{1}\}=4t^{3}-16t^{2}+32t-\frac{256}{9}+\frac{256}{9}e^{-1{,}5t}+\frac{32}{3}t e^{-1{,}5t},
\mathcal{L}^{-1}\{Y_{2}\}=\frac{256}{9}-\frac{256}{9}e^{-1{,}5t}-\frac{128}{3}t e^{-1{,}5t},
\mathcal{L}^{-1}\{Y_{3}\}=e^{-1{,}5t}+33t e^{-1{,}5t}.
Agora somo termo a termo. Os termos constantes -\frac{256}{9} e +\frac{256}{9} se cancelam. Agrupando os termos polinomiais e exponenciais:
  • Polinomial: 4t^{3}-16t^{2}+32t.
  • Termos em t e^{-1{,}5t}: \frac{32}{3}-\frac{128}{3}+33=\frac{32-128+99}{3}=1, então 1\cdot t e^{-1{,}5t}.
  • Termos em e^{-1{,}5t} (sem t): \frac{256}{9}-\frac{256}{9}+1=1, então 1\cdot e^{-1{,}5t}.
Logo a soma dá
y(t)=4t^{3}-16t^{2}+32t+(1+t)e^{-1{,}5t}.
É bom conferir rapidamente as condições iniciais: y(0)=0+(1+0)\cdot1=1 e diferenciando e avaliando em 0 obtemos y'(0)=31{,}5 (a verificação bate), então está consistente.

Resposta

y(t)=4t^{3}-16t^{2}+32t+(1+t)e^{-1{,}5t}

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