Questão 1: Em um modelo keynesiano simples, são dadas as seguintes funções:
\mathrm{C}=200+0,76 \mathrm{Yd}
\mathrm{I}=20+0,12 \mathrm{Y}-4 \mathrm{i}
G =900
\mathrm{X}=100
\mathrm{M}=100+0,045 \mathrm{Y}
\mathrm{T}=50+0,1 \mathrm{Y}
\mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T}
\mathrm{i}=2
Explique como o aumento da propensão marginal a consumir (de 0,76 para 0,9 ) alteraria o efeito de políticas fiscais expansionistas, tanto na intensidade quanto na velocidade de resposta da economia.

Passo 1

Enunciado pedido e dados fornecidos. O enunciado pede que eu explique como o aumento da propensão marginal a consumir (de 0,76 para 0,9) altera o efeito de políticas fiscais expansionistas, olhando para (1) intensidade do efeito e (2) velocidade de resposta da economia. Dados do modelo (vou listar exatamente o que foi dado):
C=200+0,76\,Y_d
I=20+0,12\,Y-4\,i
G=900
X=100
M=100+0,045\,Y
T=50+0,1\,Y
Y_d=Y-T
i=2
Observações que vou usar: C é consumo, I investimento, G gasto público, X exportações, M importações, T impostos, Y renda nacional, Y_d renda disponível, i taxa de juros. A única mudança que vou estudar é a propensão marginal a consumir c passando de 0,76 para 0,9. A pergunta exige análise qualitativa (intensidade e velocidade) suportada por cálculo do multiplicador e por interpretação dos “rounds” sucessivos de renda/consumo.

Passo 2

Montagem da identidade de equilíbrio e substituições (passo a passo e com explicação didática).
  1. Equilíbrio de renda do modelo keynesiano simples: a renda Y deve igualar a demanda agregada AD,
Y = C + I + G + X - M.
  1. Primeiro vou escrever Y_d e C em função de Y. Como Y_d=Y-T e T=50+0,1Y, temos
Y_d = Y - (50+0,1Y) = 0,9Y - 50.
  1. Substituo Y_d em C. Usando uma propensão marginal a consumir genérica c (vamos depois pôr c=0,76 e c=0,9),
C = 200 + c\,Y_d = 200 + c(0,9Y - 50) = 200 - 50c + 0,9c\,Y.
Aqui a interpretação: quando a renda aumenta 1, consumo aumenta c vezes a parcela da renda que sobra após impostos, isto é 0,9c por unidade de Y.
4) Investimento: com i=2 fixo,
I = 20 + 0,12Y - 4\cdot 2 = 20 + 0,12Y - 8 = 12 + 0,12Y.
  1. Importações já estão em função de Y:
M = 100 + 0,045Y.
  1. Substituo C,I,M na identidade Y = C+I+G+X-M. Agrupando termos constantes e termos que multiplicam Y:
Y = (200 - 50c) + 0,9c\,Y + (12 + 0,12Y) + 900 + 100 - (100 + 0,045Y).
Agora simplifico constantes e coeficientes de Y.

Passo 3

Simplificação algébrica e obtenção da forma do multiplicador (aqui explico bem a fórmula).
  1. Soma das constantes (termos independentes de Y):
200 - 50c + 12 + 900 + 100 - 100 = 1112 - 50c.
  1. Coeficiente agregado da renda Y (soma das propensões induzidas):
0,9c + 0,12 - 0,045 = 0,9c + 0,075.
Interpretação: esse número é a fração de um aumento de renda corrente que volta a recompor a demanda interna na rodada seguinte (consumo líquido de imposto mais investimento induzido menos importações adicionais). Vou chamar isso de razão de propagação s,
s = 0,9c + 0,075.
  1. Isolando Y temos
Y - sY = 1112 - 50c \quad\Rightarrow\quad Y(1-s) = 1112 - 50c.
  1. Portanto a sensibilidade da renda a uma mudança exógena no lado da demanda (o multiplicador do componente autônomo, e.g. \Delta G) é
k \;=\; \frac{1}{1-s} \;=\; \frac{1}{1-(0,9c+0,075)}.
Aula rápida sobre multiplicador: o multiplicador k mede quanto a renda final muda para uma variação unitária num gasto autônomo (por exemplo G). Ele vem da soma das rodadas sucessivas: gasto inicial -> renda -> consumo induzido -> nova renda -> novo consumo … que forma uma série geométrica de razão s. A soma dessa série é \sum_{k=0}^\infty s^k = 1/(1-s) quando |s|<1.

Passo 4

Cálculo numérico do multiplicador e da razão de propagação s para os dois valores de c.
  1. Caso c=0,76:
s = 0,9\cdot 0,76 + 0,075 = 0,684 + 0,075 = 0,759.
k=\frac{1}{1-0,759}=\frac{1}{0,241}\approx 4,149.
Interpretação numérica: cada unidade de gasto autônomo (por ex. 1 de G) gera cerca de 4,149 de renda agregada no equilíbrio.
2) Caso c=0,9:
s = 0,9\cdot 0,9 + 0,075 = 0,81 + 0,075 = 0,885.
k=\frac{1}{1-0,885}=\frac{1}{0,115}\approx 8,696.
Interpretação numérica: com c=0,9 o multiplicador aproximadamente dobra em relação ao caso anterior — um gasto autônomo gera cerca de 8,696 de renda.

Passo 5

Análise da intensidade do efeito (o que o aumento de c faz ao impacto das políticas fiscais expansionistas).
  • Como k aumenta de aproximadamente 4,149 para 8,696, a intensidade do efeito de uma política fiscal expansionista (por exemplo um aumento de G) é muito maior quando a propensão marginal a consumir é 0,9. Intuição didática: maior c significa que, de cada unidade extra de renda, os agentes consomem mais (especialmente a parcela líquida após impostos, que é 0,9c por unidade de Y), então menos da renda adicional vaza via poupança; portanto cada real de gasto público gera mais rodadas de consumo e, consequentemente, um efeito final sobre Y muito maior.
  • Exemplo numérico rápido: se o governo aumenta G em 100,
    • com c=0,76: \Delta Y \approx 100\cdot 4,149 = 414,9.
    • com c=0,9: \Delta Y \approx 100\cdot 8,696 = 869,6.
      Isso mostra claramente a amplificação do efeito.

Passo 6

Análise da velocidade de resposta (quanto tempo/rodadas até o efeito se concretizar) e como c altera essa velocidade.
  • A dinâmica das rondas: o efeito total é a soma das contribuições das rondas sucessivas de gasto, formando uma série geométrica de razão s. A fração do efeito total já alcançada após n rondas é
\text{frac}_{n} = 1 - s^{\,n+1}.
Logo a velocidade de convergência ao efeito final depende de quão pequeno é s: quanto menor s, mais rápido s^{n} tende a zero e mais rápido alcançamos a maior parte do multiplicador.
  • Para nossos dois casos:
    • com c=0,76: s=0,759. A série decai relativamente rápido. Para alcançar 95\% do efeito final, precisamos de n tal que s^{n+1}\le 0,05. Resolvendo,
    n+1 \ge \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,759)} \approx \frac{-2,9957}{-0,2761}\approx 10{,}85,então n\approx 9{,}85: cerca de 10 rondas para atingir 95\% do efeito.
    • com c=0,9: s=0,885. Agora a razão é mais próxima de 1, a série decai bem mais devagar. Para 95\%,
    n+1 \ge \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,885)} \approx \frac{-2,9957}{-0,1219}\approx 24{,}58,então n\approx 23{,}6: cerca de 24 rondas para atingir 95\% do efeito.
  • Interpretação: com maior c a intensidade do multiplicador aumenta, mas a velocidade de convergência diminui — ou seja, o efeito total é maior, porém se acumula por mais rondas (mais “persistente”), porque menos da renda vai escapar (por poupança, impostos ou importações) a cada rodada. Em termos intuitivos: cada impulso gera rondas maiores, e essas rondas demoram mais a decair.

Passo 7

Síntese e conclusão didática (resumindo em linguagem clara e motivadora).
  • Aumento de c => maior propensão a transformar renda em consumo nas rodadas seguintes => multiplicador maior (mais intensidade).
  • Mas maior c => razão de propagação s mais próxima de 1 => decadência mais lenta das rondas => efeito final demora mais a se materializar totalmente (velocidade menor).
  • Conclusão prática: se você quiser um efeito grande da política fiscal, um país com alto c obterá uma resposta muito mais forte em nível de renda; entretanto a política produzirá seus efeitos ao longo de mais etapas/tempo, enquanto num país com baixo c o efeito é menor, porém se concentra mais rapidamente.

Resposta

Intensidade: o multiplicador passa de aproximadamente 4,149 (quando c=0,76) para aproximadamente 8,696 (quando c=0,9), logo a política fiscal expansionista tem efeito final muito maior com c=0,9.
Velocidade: a razão de propagação s passa de 0,759 para 0,885; com c=0,76 são necessárias cerca de 10 rondas para atingir 95\% do efeito, enquanto com c=0,9 são necessárias cerca de 24 rondas — isto é, o efeito final é mais lento a se concretizar quando c aumenta.

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