Questão 7. Uma moeda desonesta é lançada duas vezes aleatoriamente. Se a probabilidade de obter cara duas vezes em dois lançamentos é \frac{1}{2}, determine a probabilidade de obter uma cara e uma coroa em dois lançamentos.
A ( ) \frac{1}{4}
B ( ) \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)
C ( ) (\sqrt{2}-1)
D ( ) \frac{1}{2}
E ( ) \left(\frac{\sqrt{2}+1}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • Uma moeda desonesta é lançada duas vezes de forma aleatória e independente.
  • A probabilidade de obter cara nas duas jogadas (duas caras) é \tfrac{1}{2}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a probabilidade de obter exatamente uma cara e uma coroa em dois lançamentos (ou seja, uma cara e uma coroa em qualquer ordem).

Passo 2

Vamos traduzir o problema em variáveis. Seja p a probabilidade de obter cara em um único lançamento da moeda. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de obter cara em ambos os lançamentos é
p^2.
Pelo enunciado sabemos que isso vale \tfrac{1}{2}. Portanto:
p^2=\tfrac{1}{2}.
Para encontrar p tomamos a raiz quadrada. Como p é uma probabilidade, escolhemos a raiz positiva:
p=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Agora precisamos da probabilidade de obter exatamente uma cara e uma coroa em duas jogadas. Há duas sequências que satisfazem isso: cara-depois-coroa (HC) e coroa-depois-cara (CH). Cada sequência tem probabilidade p(1-p) (pois um lançamento dá cara com probabilidade p e o outro dá coroa com probabilidade 1-p). Somando as duas possibilidades (ou usando o coeficiente binomial \binom{2}{1}=2) obtemos:
P(\text{uma cara e uma coroa})=2p(1-p).

Passo 4

Substituímos o valor de p que encontramos:
2p(1-p)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Simplificando passo a passo:
2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
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2p(1-p)=\sqrt{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Distribuindo:
\sqrt{2}\cdot 1 - \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}-\frac{2}{2}=\sqrt{2}-1.

Passo 5

Fazendo um verificação numérica rápida: \sqrt{2}\approx1{,}4142, então \sqrt{2}-1\approx0{,}4142. Isso faz sentido pois é menor que 1 e maior que 0.

Passo 6

Conclusão: a probabilidade pedida é \sqrt{2}-1. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra C.

Resposta

\sqrt{2}-1

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