Questão 7. Uma moeda desonesta é lançada duas vezes aleatoriamente. Se a probabilidade de obter cara duas vezes em dois lançamentos é
, determine a probabilidade de obter uma cara e uma coroa em dois lançamentos.
A ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
A ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
- Uma moeda desonesta é lançada duas vezes de forma aleatória e independente.
- A probabilidade de obter cara nas duas jogadas (duas caras) é
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a probabilidade de obter exatamente uma cara e uma coroa em dois lançamentos (ou seja, uma cara e uma coroa em qualquer ordem).
Passo 2
Vamos traduzir o problema em variáveis. Seja
a probabilidade de obter cara em um único lançamento da moeda. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de obter cara em ambos os lançamentos é
Pelo enunciado sabemos que isso vale
. Portanto:
Para encontrar
tomamos a raiz quadrada. Como
é uma probabilidade, escolhemos a raiz positiva:
Passo 3
Agora precisamos da probabilidade de obter exatamente uma cara e uma coroa em duas jogadas. Há duas sequências que satisfazem isso: cara-depois-coroa (HC) e coroa-depois-cara (CH). Cada sequência tem probabilidade
(pois um lançamento dá cara com probabilidade
e o outro dá coroa com probabilidade
). Somando as duas possibilidades (ou usando o coeficiente binomial
) obtemos:
Passo 4
Substituímos o valor de
que encontramos:
Simplificando passo a passo:
logo
Distribuindo:
Passo 5
Fazendo um verificação numérica rápida:
, então
. Isso faz sentido pois é menor que
e maior que
.
Passo 6
Conclusão: a probabilidade pedida é
. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra C.