Questão 6. O conjunto de todos os números reais \mathrm{q}>1, para os quais \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2} \mathrm{e} \mathrm{a}_{3} formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão \mathbf{q} e representam as medidas dos lados de um triângulo, é:
\mathbf{A}(~) ~] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}[
\left.\mathrm{B}(~) ~] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
C ( ) \left.] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\right]
D ( ) ] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{4}[
E ( ) ] 1,1+\sqrt{5}[

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que é pedido e os dados):
  • Procura-se o conjunto de todos os números reais \,q>1\, tais que \,a_{1},a_{2},a_{3}\, formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão \,q\, e são as medidas dos lados de um triângulo.
  • Em outras palavras: existem a_{1},a_{2},a_{3}>0 com
a_{2}=a_{1}q,\qquad a_{3}=a_{1}q^{2},
e as três quantidades devem satisfazer as desigualdades que caracterizam lados de um triângulo (as três somas de dois lados maiores que o terceiro).
O que se pede: determinar todos os valores de \,q>1\, que tornam possível que esses três termos sejam lados de um triângulo.

Passo 2

Parametrização e observação sobre escala: seja \,a_{1}=x>0\,. Então, pela progressão geométrica,
a_{2}=xq,\qquad a_{3}=xq^{2}.
As desigualdades do triângulo são homogêneas em x (ou seja, multiplicar todos os lados por um mesmo fator positivo não altera se satisfazem as desigualdades). Por isso podemos dividir todas as desigualdades por x>0 e trabalhar apenas com as expressões em função de q. Isso simplifica a análise e mostra que a condição sobre q independe do valor específico de x (desde que x>0).

Passo 3

Escrever as três desigualdades do triângulo em termos de q (após dividir por x):
  1. \;a_{1}+a_{2}>a_{3}\; vira
1+q>q^{2}.
  1. \;a_{2}+a_{3}>a_{1}\; vira
q+q^{2}>1.
  1. \;a_{1}+a_{3}>a_{2}\; vira
1+q^{2}>q.
Agora analisar cada uma:
  • Para a desigualdade q+q^{2}>1: como q>1 temos q+q^{2}>1+1=2>1. Logo essa desigualdade é sempre verdadeira para todo q>1.
  • Para 1+q^{2}>q: reescrevendo,
q^{2}-q+1>0.
O discriminante dessa quadrática é \Delta=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=-3<0, portanto o polinômio é sempre estritamente positivo para todo q\in\mathbb{R}. Assim essa desigualdade também é sempre verdadeira para todo q.
  • Resta então a primeira desigualdade não automática, que é a condição realmente limitante:
1+q>q^{2}.

Passo 4

Resolver a desigualdade 1+q>q^{2}. Reescrevendo em forma padrão:
q^{2}-q-1<0.
Estudar o sinal do polinômio p(q)=q^{2}-q-1. As raízes de p(q)=0 são
q=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como a parábola abre para cima (coeficiente de q^{2} positivo), a desigualdade p(q)<0 é satisfeita para q estritamente entre as raízes. As raízes são \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} (negativa) e \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} (aprox. 1{,}618). Intersectando com a condição inicial q>1, obtemos
1<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Observação sobre extremos: as desigualdades do triângulo exigem estritamente >, então a igualdade 1+q=q^{2} (ou seja, q=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}) não serve — esse valor torna a_{1}+a_{2}=a_{3} e não forma um triângulo não degenerado. Da mesma forma q=1 foi excluído pela hipótese q>1. Portanto os extremos não são incluídos.

Passo 5

Interpretação final e conclusão: o único requisito não automático impõe 1<q<\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}. Logo o conjunto procurado é o intervalo aberto \,]1,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[. Entre as alternativas dadas isto corresponde à alternativa A.

Resposta

A ]1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}[

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