Questão 6. O conjunto de todos os números reais
, para os quais
formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão
e representam as medidas dos lados de um triângulo, é:
C ( )
D ( )
E ( )
C ( )
D ( )
E ( )
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que é pedido e os dados):
- Procura-se o conjunto de todos os números reais
tais que formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão e são as medidas dos lados de um triângulo. - Em outras palavras: existem
com
e as três quantidades devem satisfazer as desigualdades que caracterizam lados de um triângulo (as três somas de dois lados maiores que o terceiro).
O que se pede: determinar todos os valores de que tornam possível que esses três termos sejam lados de um triângulo.
O que se pede: determinar todos os valores de
Passo 2
Parametrização e observação sobre escala: seja
. Então, pela progressão geométrica,
As desigualdades do triângulo são homogêneas em
(ou seja, multiplicar todos os lados por um mesmo fator positivo não altera se satisfazem as desigualdades). Por isso podemos dividir todas as desigualdades por
e trabalhar apenas com as expressões em função de
. Isso simplifica a análise e mostra que a condição sobre
independe do valor específico de
(desde que
).
Passo 3
Escrever as três desigualdades do triângulo em termos de
(após dividir por
):
-
vira
-
vira
-
vira
Agora analisar cada uma:
- Para a desigualdade
: como temos . Logo essa desigualdade é sempre verdadeira para todo . - Para
: reescrevendo,
O discriminante dessa quadrática é
, portanto o polinômio é sempre estritamente positivo para todo
. Assim essa desigualdade também é sempre verdadeira para todo
.
- Resta então a primeira desigualdade não automática, que é a condição realmente limitante:
Passo 4
Resolver a desigualdade
. Reescrevendo em forma padrão:
Estudar o sinal do polinômio
. As raízes de
são
Como a parábola abre para cima (coeficiente de
positivo), a desigualdade
é satisfeita para
estritamente entre as raízes. As raízes são
(negativa) e
(aprox.
). Intersectando com a condição inicial
, obtemos
Observação sobre extremos: as desigualdades do triângulo exigem estritamente
, então a igualdade
(ou seja,
) não serve — esse valor torna
e não forma um triângulo não degenerado. Da mesma forma
foi excluído pela hipótese
. Portanto os extremos não são incluídos.
Passo 5
Interpretação final e conclusão: o único requisito não automático impõe
. Logo o conjunto procurado é o intervalo aberto
. Entre as alternativas dadas isto corresponde à alternativa A.
Resposta
A