Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com
, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e
. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até
do volume inicial
; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
c) Calcule o calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii).
Passo 1
O enunciado nos dá (peguei todos os dados do enunciado):
- Quantidade de substância:
mol. - Constante adiabática:
. - Pressão inicial:
(não precisaremos converter para Pa porque usaremos relações que dependem só de temperaturas e de ). - Temperatura inicial:
, portanto . - Volume inicial:
(símbolo dado). Após a etapa (i) o volume passa a .
O que é pedido nesta parte (item c): calcular o calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii), ou seja, somar(isobárico) e (isocórico).
Passo 2
Relembrando fórmulas e definindo capacidades térmicas molares (aula rápida e necessária):
- Para um gás ideal mono- ou poliatômico em termos molares vale
, onde é o calor molar à pressão constante, é o calor molar a volume constante e é a constante universal dos gases. - Definição de
:
A partir dessas duas relações podemos obter
e
em função de
e
. Isolando
:
e então
Aqui
é a constante dos gases, com valor numérico
. Substituindo
:
Interpretação simples:
e
(valores molares).
Passo 3
Determinar a temperatura após a etapa (i) (compressão isobárica de
para
).
- Em processo isobárico,
constante. Pela equação de estado do gás ideal , com fixo a temperatura é proporcional ao volume:
Portanto
Como
,
Passo 4
Calcular o calor trocado na etapa (i) — compressão isobárica. Fórmula utilizada e interpretação:
- Para um processo isobárico o calor fornecido ao gás é
Explicando as variáveis:
é o número de mols,
é o calor molar à pressão constante,
e
são temperaturas inicial e final do passo. Note que
porque comprimimos mantendo
, então
ficará negativo (o gás perde calor).
Substituindo ,
e
:
Substituindo
Passo 5
Calcular o calor trocado na etapa (ii) — aquecimento a volume constante até retornar à temperatura inicial. Fórmula e interpretação:
- Em processo isocórico (volume constante) o calor fornecido é
Aqui
é positivo, pois aquecemos de
até
.
Substituindo ,
e
:
Substituindo
Passo 6
Calcular numericamente
e
usando
e
.
- Para
:
Fazendo as contas:
- Para
:
Fazendo as contas:
Passo 7
Interpretando os sinais e somando os calores das etapas (i) e (ii):
-
é negativo (o gás libera calor durante a compressão isobárica). -
é positivo (calor fornecido para aquecer a volume constante).
O calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii) é a soma