Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com \gamma=7 / 5, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3 / 4 do volume inicial V_{0}; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
c) Calcule o calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii).

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei todos os dados do enunciado):
  • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • Constante adiabática: \gamma=\dfrac{7}{5}=1{,}4.
  • Pressão inicial: P_{0}=1\\ \text{atm} (não precisaremos converter para Pa porque usaremos relações que dependem só de temperaturas e de R).
  • Temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}, portanto T_{0}=27+273=300\\ \mathrm{K}.
  • Volume inicial: V_{0} (símbolo dado). Após a etapa (i) o volume passa a V_{1}=\dfrac{3}{4}V_{0}.
    O que é pedido nesta parte (item c): calcular o calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii), ou seja, somar Q_{(i)} (isobárico) e Q_{(ii)} (isocórico).

Passo 2

Relembrando fórmulas e definindo capacidades térmicas molares (aula rápida e necessária):
  • Para um gás ideal mono- ou poliatômico em termos molares vale C_{P}-C_{V}=R, onde C_{P} é o calor molar à pressão constante, C_{V} é o calor molar a volume constante e R é a constante universal dos gases.
  • Definição de \gamma:
\gamma=\dfrac{C_{P}}{C_{V}}.
A partir dessas duas relações podemos obter C_{V} e C_{P} em função de \gamma e R. Isolando C_{V}:
C_{V}=\dfrac{R}{\gamma-1},
e então
C_{P}=\gamma C_{V}=\dfrac{\gamma R}{\gamma-1}.
Aqui R é a constante dos gases, com valor numérico R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Substituindo \gamma=7/5:
C_{V}=\dfrac{R}{\tfrac{7}{5}-1}=\dfrac{R}{\tfrac{2}{5}}=\dfrac{5}{2}R,
C_{P}=\gamma C_{V}=\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{5}{2}R=\dfrac{7}{2}R.
Interpretação simples: C_{V}=\tfrac{5}{2}R e C_{P}=\tfrac{7}{2}R (valores molares).

Passo 3

Determinar a temperatura após a etapa (i) (compressão isobárica de V_{0} para V_{1}=\tfrac{3}{4}V_{0}).
  • Em processo isobárico, P constante. Pela equação de estado do gás ideal PV=nRT, com P fixo a temperatura é proporcional ao volume:
\frac{T_{1}}{T_{0}}=\frac{V_{1}}{V_{0}}.
Portanto
T_{1}=T_{0}\cdot\frac{V_{1}}{V_{0}}=T_{0}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}T_{0}.
Como T_{0}=300\\ \mathrm{K},
T_{1}=\frac{3}{4}\cdot300=225\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o calor trocado na etapa (i) — compressão isobárica. Fórmula utilizada e interpretação:
  • Para um processo isobárico o calor fornecido ao gás é
Q_{(i)}=n C_{P}\,(T_{1}-T_{0}).
Explicando as variáveis: n é o número de mols, C_{P} é o calor molar à pressão constante, T_{0} e T_{1} são temperaturas inicial e final do passo. Note que T_{1}<T_{0} porque comprimimos mantendo P, então Q_{(i)} ficará negativo (o gás perde calor).
Substituindo n=1, C_{P}=\tfrac{7}{2}R e T_{1}-T_{0}=\tfrac{3}{4}T_{0}-T_{0}=-\tfrac{1}{4}T_{0}:
Q_{(i)}=1\cdot\frac{7}{2}R\cdot\left(-\frac{1}{4}T_{0}\right)=-\frac{7}{8}R\,T_{0}.

Passo 5

Calcular o calor trocado na etapa (ii) — aquecimento a volume constante até retornar à temperatura inicial. Fórmula e interpretação:
  • Em processo isocórico (volume constante) o calor fornecido é
Q_{(ii)}=n C_{V}\,(T_{0}-T_{1}).
Aqui T_{0}-T_{1} é positivo, pois aquecemos de T_{1}=225\\ \mathrm{K} até T_{0}=300\\ \mathrm{K}.
Substituindo n=1, C_{V}=\tfrac{5}{2}R e T_{0}-T_{1}=\tfrac{1}{4}T_{0}:
Q_{(ii)}=1\cdot\frac{5}{2}R\cdot\frac{1}{4}T_{0}=\frac{5}{8}R\,T_{0}.

Passo 6

Calcular numericamente Q_{(i)} e Q_{(ii)} usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e T_{0}=300\\ \mathrm{K}.
  • Para Q_{(i)}:
Q_{(i)}=-\frac{7}{8}R\,T_{0}=-\frac{7}{8}\cdot8{,}314\cdot300\\ \mathrm{J}.
Fazendo as contas:
-\frac{7}{8}\cdot8{,}314\cdot300=-2182{,}425\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox. }-2{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{J}).
  • Para Q_{(ii)}:
Q_{(ii)}=\frac{5}{8}R\,T_{0}=\frac{5}{8}\cdot8{,}314\cdot300\\ \mathrm{J}.
Fazendo as contas:
\frac{5}{8}\cdot8{,}314\cdot300=1558{,}875\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox. }1{,}56\times10^{3}\\ \mathrm{J}).

Passo 7

Interpretando os sinais e somando os calores das etapas (i) e (ii):
  • Q_{(i)} é negativo (o gás libera calor durante a compressão isobárica).
  • Q_{(ii)} é positivo (calor fornecido para aquecer a volume constante).
    O calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii) é a soma
Q_{\text{total}}=Q_{(i)}+Q_{(ii)}=-2182{,}425+1558{,}875\\ \mathrm{J}=-623{,}55\\ \mathrm{J}.

Resposta

-6{,}24\times10^{2}\\ \mathrm{J}

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