Questão 4. Um mol de um gás ideal. \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}}=20,8 \mathrm{~J} / \mathrm{K} mol é aquecido a volume constante de 0^{\circ} \mathrm{C} para 75^{\circ} \mathrm{C}. Calcule \Delta \mathrm{S}.

Passo 1

O enunciado dá um mol de um gás ideal com C_{v,\mathrm{m}} = 20,8~\mathrm{J/(mol\,K)} aquecido a volume constante de 0^\circ\mathrm{C} para 75^\circ\mathrm{C} e pede a variação de entropia \Delta S. Vamos usar a definição de entropia para um processo reversível e a relação entre calor a volume constante e C_v.

Passo 2

A definição de entropia em um processo reversível é
\Delta S = \int_{i}^{f} \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}.
A T= constante-volume, o calor reversível satisfaz \delta Q_\text{rev} = n\,C_{v,\mathrm{m}}\,dT.
Substituindo na integral, fica
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{n\,C_{v,\mathrm{m}}\,dT}{T}.

Passo 3

Fazendo a integração em T, obtemos
\Delta S = n\,C_{v,\mathrm{m}} \,\ln\!\biggl(\frac{T_2}{T_1}\biggr).

Passo 4

Agora substituímos \,n=1, \,C_{v,\mathrm{m}}=20,8~\mathrm{J/(mol\,K)}, \,T_1=0^\circ\mathrm{C}=273~\mathrm{K} e \,T_2=75^\circ\mathrm{C}=348~\mathrm{K}.
Calculamos a razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{348}{273} \approx 1,2747,
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\Delta S = 1 \times 20,8 \times \ln(1,2747) \approx 20,8 \times 0,2427 \approx 5,05~\mathrm{J/K}.

Resposta

\Delta S \approx 5{,}05~\mathrm{J/K}.

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