Questão 3. (Bussab) A renda média mensal dos 1000 funcionários de uma empresa é de
2.500,00
\mathrm{R} $1.200,00
15 %
\mathrm{R} $ 200,00$ por funcionário, quais serão a nova média e o novo desvio padrão dos salários?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Número de funcionários:
(não será necessário para transformar média/desvio, mas está no enunciado). - Média dos salários antes do reajuste:
. - Desvio padrão dos salários antes do reajuste:
. - O reajuste aplicado a cada salário é: aumento de
(ou seja, multiplicar por ) e, depois, um abono fixo de (somar ).
O que a questão pede:
- A nova média dos salários após esse reajuste.
- O novo desvio padrão dos salários após esse reajuste.
Passo 2
Entendendo as definições e por que um ajuste linear age assim sobre média e desvio.
Definições (população inteira):
- A média (média aritmética) de um conjunto de valores
é
- A variância populacional é
e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Agora, suponha que cada salário original seja
. O novo salário é obtido por uma transformação afim (linear + constante)
onde aqui
(aumento de 15%) e
(abono fixo).
Propriedades importantes (que vamos usar) — sem pular etapas:
- Como média é operação linear, temos
Mostrando isso com a definição de média: se
, então
- Para a variância, a constante soma cancela quando centralizamos:
Portanto o desvio padrão satisfaz
No nosso caso
, então
.
Interpretação intuitiva:
- Multiplicar todos os valores por
multiplica distâncias ao redor da média por (por isso o desvio escala por ). - Somar uma constante
desloca todos os valores sem alterar as distâncias relativas, por isso não afeta o desvio.
Passo 3
Aplicando a fórmula da média transformada.
Temos
,
e
. Usando
:
Calculemos passo a passo:
ou seja
. Somando o abono:
Portanto a média transformada (em cálculo intermediário) é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula do desvio padrão transformado.
Temos
e
. Como
, temos:
Calculemos:
Ou seja, o novo desvio padrão (em cálculo intermediário) é
.
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar a ideia (bem curtinho):
- Se houver só dois salários
, média e desvio padrão calculado. Multiplicar por e somar desloca a média por e , e o desvio multiplica por (a soma de não muda o desvio). Isso é exatamente o que fizemos acima, mas aqui com números reais da empresa.