Questão 3. (Bussab) A renda média mensal dos 1000 funcionários de uma empresa é de \mathrm{R} \ 2.500,00 com desvio padrão deã\mathrm{R} $1.200,00 . Após um reajuste salarial deó15 % sobre todos os salários, mais um abono fixo deá\mathrm{R} $ 200,00$ por funcionário, quais serão a nova média e o novo desvio padrão dos salários?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Número de funcionários: 1000 (não será necessário para transformar média/desvio, mas está no enunciado).
  • Média dos salários antes do reajuste: \mathrm{R}\$\,2.500,00.
  • Desvio padrão dos salários antes do reajuste: \mathrm{R}\$\,1.200,00.
  • O reajuste aplicado a cada salário é: aumento de 15\% (ou seja, multiplicar por 1{,}15) e, depois, um abono fixo de \mathrm{R}\$\,200,00 (somar 200).
O que a questão pede:
  • A nova média dos salários após esse reajuste.
  • O novo desvio padrão dos salários após esse reajuste.

Passo 2

Entendendo as definições e por que um ajuste linear age assim sobre média e desvio.
Definições (população inteira):
  • A média (média aritmética) de um conjunto de valores x_1,\dots,x_n é
\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2,
e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Agora, suponha que cada salário original seja X. O novo salário é obtido por uma transformação afim (linear + constante)
Y=aX+b,
onde aqui a=1{,}15 (aumento de 15%) e b=200 (abono fixo).
Propriedades importantes (que vamos usar) — sem pular etapas:
  1. Como média é operação linear, temos
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[aX+b]=a\,\mathbb{E}[X]+b.
Mostrando isso com a definição de média: se \mu=\frac{1}{n}\sum x_i, então
\frac{1}{n}\sum (a x_i + b)=a\left(\frac{1}{n}\sum x_i\right)+\frac{1}{n}\sum b=a\mu+b.
  1. Para a variância, a constante soma cancela quando centralizamos:
\begin{aligned} \mathrm{Var}(Y)&=\frac{1}{n}\sum (y_i-\mathbb{E}[Y])^2 =\frac{1}{n}\sum (a x_i + b - (a\mu+b))^2\\\ &=\frac{1}{n}\sum (a(x_i-\mu))^2 =a^2\left(\frac{1}{n}\sum (x_i-\mu)^2\right)=a^2\mathrm{Var}(X). \end{aligned}
Portanto o desvio padrão satisfaz
\mathrm{SD}(Y)=\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}=|a|\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=|a|\,\mathrm{SD}(X).
No nosso caso a>0, então |a|=a.
Interpretação intuitiva:
  • Multiplicar todos os valores por a multiplica distâncias ao redor da média por a (por isso o desvio escala por a).
  • Somar uma constante b desloca todos os valores sem alterar as distâncias relativas, por isso não afeta o desvio.

Passo 3

Aplicando a fórmula da média transformada.
Temos \mu_X=\mathrm{R}\$\,2.500,00, a=1{,}15 e b=\mathrm{R}\$\,200,00. Usando \mathbb{E}[Y]=a\,\mathbb{E}[X]+b:
\mathbb{E}[Y]=1{,}15\cdot\mathrm{R}\$\,2.500,00+\mathrm{R}\$\,200,00.
Calculemos passo a passo:
1{,}15\cdot 2.500 = 2{,}875{,}00,
ou seja \mathrm{R}\$\,2.875,00. Somando o abono:
2{,}875{,}00 + 200 = 3{,}075{,}00.
Portanto a média transformada (em cálculo intermediário) é \mathrm{R}\$\,3.075,00.

Passo 4

Aplicando a fórmula do desvio padrão transformado.
Temos \mathrm{SD}(X)=\mathrm{R}\$\,1.200,00 e a=1{,}15. Como \mathrm{SD}(Y)=a\,\mathrm{SD}(X), temos:
\mathrm{SD}(Y)=1{,}15\cdot \mathrm{R}\$\,1.200,00.
Calculemos:
1{,}15\cdot 1.200 = 1{,}380.
Ou seja, o novo desvio padrão (em cálculo intermediário) é \mathrm{R}\$\,1.380,00.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar a ideia (bem curtinho):
  • Se houver só dois salários X=\{1000,2000\}, média 1500 e desvio padrão calculado. Multiplicar por 1{,}15 e somar 200 desloca a média por 1{,}15 e +200, e o desvio multiplica por 1{,}15 (a soma de 200 não muda o desvio). Isso é exatamente o que fizemos acima, mas aqui com números reais da empresa.

Resposta

\mathrm{R}\$\,3.075,00
\mathrm{R}\$\,1.380,00

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