Questão 4 - Mostre que o campo escalar complexo
é solução da equação de onda 3D, sendo
a frequência angular,
o número de onda e
são as amplitudes complexas das ondas progressiva e regressiva respectivamente. (b) Mostre que a parte real dessa onda plana geral também é solução da equação de onda 3D. Ao tomar a parte real, use
e
, sendo
as amplitudes reais e
as diferenças de fase. Dica: leia a apostila!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que um campo escalar complexo dado é solução da equação de onda em 3D. Depois, também precisamos provar que a parte real dessa onda é solução. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de onda, trabalhar com exponenciais complexas e usar um pouco de cálculo, tipo derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda em 3D. Ela é dada por:
Aqui,
é o operador Laplaciano, que envolve as segundas derivadas espaciais,
é a velocidade da onda, e
é o campo escalar que a gente quer analisar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o Laplaciano de
. O campo é dado por:
O Laplaciano,
, vai agir sobre cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso nos dois termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de
. A primeira derivada em relação ao tempo é:
E a segunda derivada fica:
Passo 5
Vamos agora substituir os resultados do Laplaciano e das derivadas temporais na equação de onda:
Simplificando ambos os lados:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer posição
e tempo
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Ou seja:
Isso nos dá a relação de dispersão:
Então, desde que essa relação seja satisfeita, o campo
é de fato uma solução da equação de onda 3D.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que a parte real de
também é solução da equação de onda. Primeiro, vamos escrever
e
em termos de amplitude real e fase:
Onde
e
são amplitudes reais, e
,
são as diferenças de fase.
Passo 8
Substituindo esses valores de
e
no campo
:
A parte real de
é então:
Passo 9
Como a equação de onda é linear, a soma de soluções também é solução. Ou seja, se cada termo complexo é solução, então qualquer combinação linear deles, incluindo suas partes reais, também será solução da equação de onda. Portanto, a parte real de
também satisfaz a equação de onda 3D.
Resposta
Concluímos que o campo escalar complexo
satisfaz a equação de onda 3D quando
. Além disso, a parte real desse campo também é solução da equação de onda 3D, garantindo que tanto a onda complexa quanto sua componente real obedecem à equação de onda.