Questão 4 - Mostre que o campo escalar complexo f(r, t)=Ap e^i(k cdot r-omega t)+AR e^-i(k cdot r+omega t) é solução da equação de onda 3D, sendo omega a frequência angular, k o número de onda e AP, AR são as amplitudes complexas das ondas progressiva e regressiva respectivamente. (b) Mostre que a parte real dessa onda plana geral também é solução da equação de onda 3D. Ao tomar a parte real, use AP=A0 p e^i de e AR=A0 R e^i de, sendo A0 P, A0 R as amplitudes reais e de as diferenças de fase. Dica: leia a apostila!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que um campo escalar complexo dado é solução da equação de onda em 3D. Depois, também precisamos provar que a parte real dessa onda é solução. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de onda, trabalhar com exponenciais complexas e usar um pouco de cálculo, tipo derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda em 3D. Ela é dada por:
nabla^2 f = 1v^2 partial^2 fpartial t^2
Aqui, nabla^2 é o operador Laplaciano, que envolve as segundas derivadas espaciais, v é a velocidade da onda, e f(r, t) é o campo escalar que a gente quer analisar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Laplaciano de f(r, t). O campo é dado por:
f(r, t) = AP e^i(k cdot r - omega t) + AR e^-i(k cdot r + omega t)
O Laplaciano, nabla^2, vai agir sobre cada termo separadamente. Sabemos que:
nabla^2 e^ik cdot r = -k^2 e^ik cdot r
Então, aplicando isso nos dois termos:
nabla^2 f = -k^2 AP e^i(k cdot r - omega t) - k^2 AR e^-i(k cdot r + omega t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de f(r, t). A primeira derivada em relação ao tempo é:
partial fpartial t = -iomega AP e^i(k cdot r - omega t) - iomega AR e^-i(k cdot r + omega t)
E a segunda derivada fica:
partial^2 fpartial t^2 = -omega^2 AP e^i(k cdot r - omega t) - omega^2 AR e^-i(k cdot r + omega t)

Passo 5

Vamos agora substituir os resultados do Laplaciano e das derivadas temporais na equação de onda:
- k^2 AP e^i(k cdot r - omega t) - k^2 AR e^-i(k cdot r + omega t) = 1v^2 (-omega^2 AP e^i(k cdot r - omega t) - omega^2 AR e^-i(k cdot r + omega t))
Simplificando ambos os lados:
- k^2 AP e^i(k cdot r - omega t) - k^2 AR e^-i(k cdot r + omega t) = - omega^2v^2 AP e^i(k cdot r - omega t) - omega^2v^2 AR e^-i(k cdot r + omega t)

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer posição r e tempo t, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Ou seja:
k^2 = omega^2v^2
Isso nos dá a relação de dispersão:
omega^2 = v^2 k^2
Então, desde que essa relação seja satisfeita, o campo f(r, t) é de fato uma solução da equação de onda 3D.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que a parte real de f(r, t) também é solução da equação de onda. Primeiro, vamos escrever AP e AR em termos de amplitude real e fase:
AP = A0P e^i de
Onde A0P e A0R são amplitudes reais, e de, de são as diferenças de fase.

Passo 8

Substituindo esses valores de AP e AR no campo f:
f(r, t) = A0P e^i(de
A parte real de f é então:
Ref(r, t) = A0P cos(de

Passo 9

Como a equação de onda é linear, a soma de soluções também é solução. Ou seja, se cada termo complexo é solução, então qualquer combinação linear deles, incluindo suas partes reais, também será solução da equação de onda. Portanto, a parte real de f(r, t) também satisfaz a equação de onda 3D.

Resposta

Concluímos que o campo escalar complexo f(r, t) satisfaz a equação de onda 3D quando omega^2 = v^2 k^2. Além disso, a parte real desse campo também é solução da equação de onda 3D, garantindo que tanto a onda complexa quanto sua componente real obedecem à equação de onda.

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