Questão 0.8. Mostre que o conjunto B=\left\{1+x, 1+2 x, 2 x^{2}, x^{3}\right\} é uma base do espaço P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
B=\{\,1+x,\;1+2x,\;2x^{2},\;x^{3}\}
é uma base de P_{3}(\mathbb{R}). Sabemos que \dim P_{3}(\mathbb{R})=4 e \lvert B\rvert=4. Logo, basta provar que B é linearmente independente, pois em um espaço de dimensão 4 qualquer conjunto de 4 vetores linearmente independentes é base (eles automaticamente geram todo o espaço).

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear nula
c_{1}(1+x)+c_{2}(1+2x)+c_{3}(2x^{2})+c_{4}(x^{3})=0,
onde 0 é o polinômio nulo, e c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} são escalares em \mathbb{R}.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos conforme potências de x, obtemos
(c_{1}+c_{2})+(c_{1}+2c_{2})x+2c_{3}\,x^{2}+c_{4}\,x^{3}=0.

Passo 4

Como o polinômio à esquerda é identicamente zero, os coeficientes de cada potência de x devem ser zero. Logo, formamos o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\\ c_{1}+2c_{2}=0,\\\\ 2c_{3}=0,\\\ c_{4}=0. \end{cases}

Passo 5

Deste sistema vem
c_{4}=0,\quad c_{3}=0,\quad (c_{1}+2c_{2})-(c_{1}+c_{2})=c_{2}=0\;\Longrightarrow\;c_{1}=0.
Assim, a única solução é c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0, o que prova que B é linearmente independente.

Resposta

O conjunto B é uma base de P_{3}(\mathbb{R}), pois tem 4 elementos em um espaço de dimensão 4 e é linearmente independente.

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