Questão 0.8. Mostre que o conjunto B=\left\{1+x, 1+2 x, 2 x^{2}, x^{3}\right\} é uma base do espaço P_{3}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
B=\{\,1+x,\;1+2x,\;2x^{2},\;x^{3}\}
é uma base de P_{3}(\mathbb{R}). Sabemos que \dim P_{3}(\mathbb{R})=4 e \lvert B\rvert=4. Logo, basta provar que B é linearmente independente, pois em um espaço de dimensão 4 qualquer conjunto de 4 vetores linearmente independentes é base (eles automaticamente geram todo o espaço).