Questão 2. Mostre que a equação diferencial y^prime-3 y=0 é simultaneamente linear e separável, em seguida, resolva-a, por estes dois métodos. Por fim, compare os resultados obtidos nos dois casos.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' - 3y = 0
e pede para mostrar que ela é simultaneamente linear e separável, resolvê-la pelos dois métodos e comparar os resultados. O conteúdo é teoria de EDOs lineares de 1ª ordem e EDOs separáveis.

Passo 2

Método da equação linear. Primeiro colocamos em forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
identificando aqui P(x)=-3 e Q(x)=0. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^-3x
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^-3xy' - 3e^-3xy = 0 Longrightarrow ddxl(e^-3xyr) = 0
Integrando,
e^-3xy = C1 Longrightarrow y = C1,e^3x

Passo 3

Método da separação de variáveis. Reescrevemos
dydx = 3y
e separamos as variáveis:
1y,dy = 3,dx
Integrando ambos os lados,
integral 1y,dy = integral 3,dx Longrightarrow ln|y| = 3x + C2
Aplica-se a exponencial para obter
|y| = e^3x + C2 = C3,e^3x,
e, ao acomodar o sinal em C, fica
y = C,e^3x

Passo 4

Comparação dos resultados. Em ambos os métodos achamos a mesma solução geral
y = C,e^3x,
com C constante arbitrária. Isso confirma que tanto o método linear quanto o separável levam ao mesmo resultado.

Resposta

A solução geral da EDO
y' - 3y = 0
é
y = C,e^3x,
onde C é constante arbitrária.

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