Questão 2. Mostre que a equação diferencial
é simultaneamente linear e separável, em seguida, resolva-a, por estes dois métodos. Por fim, compare os resultados obtidos nos dois casos.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para mostrar que ela é simultaneamente linear e separável, resolvê-la pelos dois métodos e comparar os resultados. O conteúdo é teoria de EDOs lineares de 1ª ordem e EDOs separáveis.
Passo 2
Método da equação linear. Primeiro colocamos em forma padrão
identificando aqui
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação original por
obtemos
Integrando,
Passo 3
Método da separação de variáveis. Reescrevemos
e separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados,
Aplica-se a exponencial para obter
e, ao acomodar o sinal em
, fica
Passo 4
Comparação dos resultados. Em ambos os métodos achamos a mesma solução geral
com
constante arbitrária. Isso confirma que tanto o método linear quanto o separável levam ao mesmo resultado.
Resposta
A solução geral da EDO
é
onde
é constante arbitrária.