Utilize coordenadas polares para obter o valor das seguintes integrais:
, onde
é o disco com centro na origem e raio
.
Passo 1
E aí! Vamos resolver a integral dupla
sobre um disco com centro na origem e raio
. Aqui, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares. Vamos precisar converter
e
para coordenadas polares e ajustar a área diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas
para polares
. Sabemos que:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral de
de
a
é:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral de
de
a
. Sabemos que:
Então:
Porque
, então a diferença é zero.
Resposta
A integral vale
.