Utilize coordenadas polares para obter o valor das seguintes integrais:
integralegral dupla x y d A, onde R é o disco com centro na origem e raio a.

Passo 1

E aí! Vamos resolver a integral dupla integral dupla x y , dA sobre um disco com centro na origem e raio a. Aqui, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares. Vamos precisar converter x e y para coordenadas polares e ajustar a área diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). Sabemos que:
x = r costheta y = r sintheta
E a área diferencial em coordenadas polares é:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos x, y e dA na integral original:
integral duplaR x y , dA = integral0^2pi integral0^a (r costheta)(r sintheta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= integral0^2pi integral0^a r^3 costheta sintheta , dr , dtheta

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a r. A integral de r^3 de 0 a a é:
integral0^a r^3 , dr = [r^44]0^a = a^44
Então, a integral fica:
a^44 integral0^2pi costheta sintheta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral de costheta sintheta de 0 a 2pi. Sabemos que:
costheta sintheta = 12 sin(2theta)
Então:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta = 12 integral0^2pi sin(2theta) , dtheta = 12 [-cos(2theta)2]0^2pi = 0
Porque cos(4pi) = cos(0) = 1, então a diferença é zero.

Resposta

A integral vale 0.

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