Questão 5. Defina equação de Riccati, em seguida, resolva a equação y^prime-x^2-2 x y-y^2=0. Respostra. Temos que y=-x+tg(x+C) é a família de soluções da equação dada.

Passo 1

Uma equação de Riccati é uma EDO de 1ª ordem não linear que pode ser escrita na forma
y' = a(x),y^2 + b(x),y + c(x)
No nosso caso, a equação dada
y' - x^2 - 2x,y - y^2 = 0
pode ser rearranjada para esse formato.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
y' = y^2 + 2x,y + x^2
Logo a(x)=1, b(x)=2x e c(x)=x^2. Observe que o lado direito é um quadrado perfeito:
y^2 + 2x,y + x^2 = (y + x)^2

Passo 3

Para explorar essa observação, fazemos a mudança de variável
u = y + x
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
u' = y' + 1
Como y' = (y + x)^2 = u^2, segue
u' = u^2 + 1

Passo 4

A equação em u é separável:
duu^2 + 1 = dx
Integrando os dois lados,
integral du1+u^2 = integral dx Longrightarrow arctan(u) = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável y, temos u = tan(x + C). Como u = y + x,
y + x = tan(x + C) Longrightarrow y = -x + tan(x + C)

Resposta

y = -x + tanl(x + Cr),
que é a família geral de soluções da equação dada.

Exercícios relacionados