Utilize coordenadas polares para obter o valor das seguintes integrais: , onde é o semicírculo de raio 4 centrado na origem, com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é sobre um semicírculo de raio 4 centrado na origem, onde . Para resolver isso, vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares, ajustar os limites de integração e então calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e . Além disso, o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral vai mudar de e para e .
Passo 3
Agora, vamos ajustar os limites de integração. Como estamos lidando com um semicírculo de raio 4 e , isso significa que varia de 0 a 4 (o raio) e varia de a (para cobrir todo o semicírculo onde é positivo).
Passo 4
Com as mudanças feitas, nossa integral fica assim:
A função dentro da integral agora está em termos de , o que facilita o cálculo.
Passo 5
Vamos primeiro calcular a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição, seja , então , ou seja, .
Passo 6
Substituindo na integral:
Calculando essa integral:
Passo 7
Agora, voltamos à integral externa em relação a theta :