Utilize coordenadas polares para obter o valor das seguintes integrais:
integralegral dupla raiz16-x^2-y^2 d A, onde D é o semicírculo de raio 4 centrado na origem, com x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é integral dupla raiz16 - x^2 - y^2 , dA sobre um semicírculo de raio 4 centrado na origem, onde x >= 0 . Para resolver isso, vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares, ajustar os limites de integração e então calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, x = r cos(theta) e y = r sin(theta) . Além disso, o elemento de área dA se transforma em r , dr , dtheta . Então, nossa integral vai mudar de x e y para r e theta .

Passo 3

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Como estamos lidando com um semicírculo de raio 4 e x >= 0 , isso significa que r varia de 0 a 4 (o raio) e theta varia de -pi2 a pi2 (para cobrir todo o semicírculo onde x é positivo).

Passo 4

Com as mudanças feitas, nossa integral fica assim:
integral-pi2^pi2 integral0^4 raiz16 - r^2 , r , dr , dtheta
A função dentro da integral agora está em termos de r , o que facilita o cálculo.

Passo 5

Vamos primeiro calcular a integral interna em relação a r :
integral0^4 raiz16 - r^2 , r , dr
Fazendo uma substituição, seja u = 16 - r^2 , então du = -2r , dr , ou seja, r , dr = -12 du .

Passo 6

Substituindo na integral:
-12 integral16^0 raizu , du = 12 integral0^16 raizu , du
Calculando essa integral:
12 cdot 23 u^32 |0^16 = 13 ( 16^32 - 0 ) = 13 cdot 64 = 643

Passo 7

Agora, voltamos à integral externa em relação a theta :
integral-pi2^pi2 643 , dtheta = 643 cdot ( pi2 - (-pi2) ) = 643 cdot pi

Resposta

O valor da integral é 643 pi .

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