(5%) Questão 4. Mostre que existem números racionais a e b tais que a^{b} é irracional. (Considere o número \sqrt{2}^{\sqrt{2}}; ele é racional ou irracional?)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que existem números racionais a e b tais que a^{b} é irracional.
  • Pergunta também sobre o número \sqrt{2}^{\sqrt{2}}: ele é racional ou irracional?
Informações relevantes que temos (explícitas ou óbvias):
  • O número \sqrt{2} é um número conhecido; será útil saber se ele é racional ou irracional.
  • Podemos escolher a e b livremente entre racionais para construir um exemplo.

Passo 2

Antes de construir o exemplo, vamos fixar conceitos e uma ferramenta que vamos usar com calma e sem jargon:
Definições importantes:
  • Um número é racional se pode ser escrito como a razão de dois inteiros, isto é, se existe \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0, tal que o número é igual a \dfrac{p}{q}. Em notação: um número r é racional se r=\dfrac{p}{q}.
  • Um número é irracional se não é racional (não pode ser escrito como \dfrac{p}{q}). Exemplos clássicos de números irracionais são \sqrt{2}, \pi, e (mas \pi e e precisam de provas próprias).
Sobre exponenciação com expoente racional:
  • Se a>0 e b=\dfrac{m}{n} é um racional na forma reduzida ( m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N} ), então
a^{b}=a^{m/n}=\bigl(a^{m}\bigr)^{1/n},
ou seja, é a raiz n-ésima de a^{m}. Essa quantidade pode ser racional ou irracional dependendo de a,m,n.
Nós vamos usar um exemplo simples de a inteiro e b uma fração para obter uma potência que é uma raiz não inteira, e então provar que essa raiz é irracional.

Passo 3

Escolha explícita e cálculo:
  • Tome a=2 (é racional) e b=\dfrac{1}{2} (é racional). Então
a^{b}=2^{1/2}=\sqrt{2}.
Logo, se conseguirmos provar que \sqrt{2} é irracional, teremos exibido a e b racionais com a^{b} irracional.
Vamos provar que \sqrt{2} é irracional — é a prova clássica por contradição, passo a passo e bem mastigada.
Prova de que \sqrt{2} é irracional:
  1. Suponha, para obter contradição, que \sqrt{2} seja racional. Então existem inteiros p e q sem fator comum (ou seja, a fração está na forma reduzida) tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q},
com q\neq0.
2. Elevando ao quadrado ambos os lados,
2=\frac{p^{2}}{q^{2}}.
  1. Multiplicando por q^{2},
p^{2}=2q^{2}.
Isto diz que p^{2} é par (pois é duas vezes algo). Se p^{2} é par, então p é par (se um quadrado é par, a raiz inteira também é par).
4. Então existe inteiro k tal que p=2k. Substituindo em p^{2}=2q^{2} obtemos
(2k)^{2}=2q^{2}\quad\Rightarrow\quad 4k^{2}=2q^{2}\quad\Rightarrow\quad 2k^{2}=q^{2}.
Isso mostra que q^{2} é par, logo q é par.
5. Concluímos que p e q são ambos pares, isto é, têm o fator comum 2. Mas isso contradiz a hipótese de que a fração \dfrac{p}{q} estava em forma reduzida (sem fator comum).
6. Assim a suposição inicial (que \sqrt{2} é racional) é falsa. Logo \sqrt{2} é irracional.
Portanto, com a=2 e b=\dfrac{1}{2} (ambos racionais), obtemos a^{b}=\sqrt{2} irracional. Isso prova a existência pedida.

Passo 4

Comentário sobre o número \sqrt{2}^{\sqrt{2}} pedido no enunciado:
  • Há duas maneiras de olhar para \sqrt{2}^{\sqrt{2}} numa argumentação elegante (este é o conhecido “truque de existência” usado em muitas provas):
    • Se \sqrt{2}^{\sqrt{2}} for racional, então temos um exemplo de números irracionais a=\sqrt{2} e b=\sqrt{2} tais que a^{b} é racional (caso diferente do que pedimos aqui, mas interessante).
    • Se \sqrt{2}^{\sqrt{2}} for irracional, então podemos tomar a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} (irracional) e b=\sqrt{2} (irracional) e obter
    a^{b}=\bigl(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\bigr)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\,\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2,
    que é racional. Assim em qualquer um dos dois casos (se \sqrt{2}^{\sqrt{2}} for racional ou irracional) obtemos exemplos interessantes sobre potências de irracionais — é o argumento clássico usado para mostrar que existem números irracionais a,b com a^{b} racional.
  • Quanto à classificação verdadeira de \sqrt{2}^{\sqrt{2}}: pelo Teorema de Gelfond–Schneider (resultado avançado), como \sqrt{2} é um número algébrico diferente de 0 e 1 e \sqrt{2} é também algébrico irracional, então \sqrt{2}^{\sqrt{2}} é transcendental (portanto irracional). Essa conclusão exige teoria além da elementar; o truque acima evita precisar provar isso diretamente.

Resposta

a=2,\; b=\dfrac{1}{2}. Então a^{b}=2^{1/2}=\sqrt{2}, que é irracional.
\sqrt{2}^{\sqrt{2}} é irracional (de fato transcendental pelo teorema de Gelfond–Schneider), embora o truque clássico mostre que, mesmo sem provar isso, uma das duas possibilidades dá resultados úteis.

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