(5%) Questão 4. Mostre que existem números racionais
e
tais que
é irracional. (Considere o número
; ele é racional ou irracional?)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que existem números racionais
e tais que é irracional. - Pergunta também sobre o número
: ele é racional ou irracional?
Informações relevantes que temos (explícitas ou óbvias):
- O número
é um número conhecido; será útil saber se ele é racional ou irracional. - Podemos escolher
e livremente entre racionais para construir um exemplo.
Passo 2
Antes de construir o exemplo, vamos fixar conceitos e uma ferramenta que vamos usar com calma e sem jargon:
Definições importantes:
- Um número é racional se pode ser escrito como a razão de dois inteiros, isto é, se existe
com , , tal que o número é igual a . Em notação: um número é racional se . - Um número é irracional se não é racional (não pode ser escrito como
). Exemplos clássicos de números irracionais são , , (mas e precisam de provas próprias).
Sobre exponenciação com expoente racional:
- Se
e é um racional na forma reduzida ( , ), então
ou seja, é a raiz
-ésima de
. Essa quantidade pode ser racional ou irracional dependendo de
.
Nós vamos usar um exemplo simples de
inteiro e
uma fração para obter uma potência que é uma raiz não inteira, e então provar que essa raiz é irracional.
Passo 3
Escolha explícita e cálculo:
- Tome
(é racional) e (é racional). Então
Logo, se conseguirmos provar que
é irracional, teremos exibido
e
racionais com
irracional.
Vamos provar que
é irracional — é a prova clássica por contradição, passo a passo e bem mastigada.
Prova de que
é irracional:
- Suponha, para obter contradição, que
seja racional. Então existem inteiros e sem fator comum (ou seja, a fração está na forma reduzida) tais que
com
.
2. Elevando ao quadrado ambos os lados,
2. Elevando ao quadrado ambos os lados,
- Multiplicando por
,
Isto diz que
é par (pois é duas vezes algo). Se
é par, então
é par (se um quadrado é par, a raiz inteira também é par).
4. Então existe inteiro tal que
. Substituindo em
obtemos
4. Então existe inteiro
Isso mostra que
é par, logo
é par.
5. Concluímos que e
são ambos pares, isto é, têm o fator comum
. Mas isso contradiz a hipótese de que a fração
estava em forma reduzida (sem fator comum).
6. Assim a suposição inicial (que é racional) é falsa. Logo
é irracional.
5. Concluímos que
6. Assim a suposição inicial (que
Portanto, com
e
(ambos racionais), obtemos
irracional. Isso prova a existência pedida.
Passo 4
Comentário sobre o número
pedido no enunciado:
-
Há duas maneiras de olhar para
numa argumentação elegante (este é o conhecido “truque de existência” usado em muitas provas): - Se
for racional, então temos um exemplo de números irracionais e tais que é racional (caso diferente do que pedimos aqui, mas interessante). - Se
for irracional, então podemos tomar (irracional) e (irracional) e obter
que é racional. Assim em qualquer um dos dois casos (sefor racional ou irracional) obtemos exemplos interessantes sobre potências de irracionais — é o argumento clássico usado para mostrar que existem números irracionais com racional. - Se
-
Quanto à classificação verdadeira de
: pelo Teorema de Gelfond–Schneider (resultado avançado), como é um número algébrico diferente de e e é também algébrico irracional, então é transcendental (portanto irracional). Essa conclusão exige teoria além da elementar; o truque acima evita precisar provar isso diretamente.