(5%) Questão 1. Encontre todos os números reais
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os números reais
e
tais que
Informações dadas e o que precisamos achar:
- As variáveis
e são números reais (ou seja, ). - A equação envolve valores absolutos aninhados:
e . - Precisamos descrever todos os pares
que satisfazem essa igualdade (uma condição sobre e ).
Passo 2
Observação inicial e justificativa do método: tanto
quanto
são números não negativos. Quando duas quantidades não negativas são iguais, podemos quadrar os dois lados sem alterar a equivalência. Isto é,
com
implica
, e vice-versa. Aqui usaremos isso para transformar absolutos em expressões quadráticas mais fáceis de manipular.
Lembrete rápido sobre manipulação de quadrados e módulo:
- Para qualquer real
vale . - Para qualquer expressão,
.
Passo 3
Aplicando o quadrado aos dois lados da igualdade e usando
, obtemos
Portanto
Agora expandimos ambos os lados usando as fórmulas de quadrado:
Passo 4
Subtraindo as duas expressões (ou simplesmente igualando as expansões) obtemos
Cancelando
e
em ambos os lados fica
Dividindo por
(que não altera a equivalência) resulta
Reescrevendo,
Passo 5
Análise da equação
. Note o seguinte:
- Se
então o produto já é não negativo. Para quaisquer com (ou seja, e têm o mesmo sinal ou um deles é zero) vale . Portanto nesses casos a igualdade é satisfeita. - Se
então é negativo enquanto é sempre não negativo; portanto não podem ser iguais. Logo nenhum par com satisfaz a igualdade.
Portanto a condição obtida é exatamente
.
Passo 6
Interpretação em linguagem simples: a igualdade ocorre exatamente quando
e
têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos) ou quando pelo menos um deles é zero. Exemplos para checar:
-
: — satisfeito. -
: e — satisfeito. -
: e — não satisfeito (pois ).