(5%) Questão 1. Encontre todos os números reais x e y tais que ||x|-|y||=|x-y|.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os números reais x e y tais que
||x|-|y|| = |x-y|.
Informações dadas e o que precisamos achar:
  • As variáveis x e y são números reais (ou seja, x,y\in\mathbb{R}).
  • A equação envolve valores absolutos aninhados: \,||x|-|y|| e |x-y|.
  • Precisamos descrever todos os pares (x,y) que satisfazem essa igualdade (uma condição sobre x e y).

Passo 2

Observação inicial e justificativa do método: tanto \,||x|-|y|| quanto |x-y| são números não negativos. Quando duas quantidades não negativas são iguais, podemos quadrar os dois lados sem alterar a equivalência. Isto é, A=B com A\ge0,B\ge0 implica A^2=B^2, e vice-versa. Aqui usaremos isso para transformar absolutos em expressões quadráticas mais fáceis de manipular.
Lembrete rápido sobre manipulação de quadrados e módulo:
  • Para qualquer real t vale |t|^2 = t^2.
  • Para qualquer expressão, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Passo 3

Aplicando o quadrado aos dois lados da igualdade e usando |t|^2=t^2, obtemos
(|x-y|)^2 = (||x|-|y||)^2.
Portanto
(x-y)^2 = (|x|-|y|)^2.
Agora expandimos ambos os lados usando as fórmulas de quadrado:
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2,
(|x|-|y|)^2 = |x|^2 - 2|x||y| + |y|^2 = x^2 - 2|x||y| + y^2.

Passo 4

Subtraindo as duas expressões (ou simplesmente igualando as expansões) obtemos
x^2 - 2xy + y^2 = x^2 - 2|x||y| + y^2.
Cancelando x^2 e y^2 em ambos os lados fica
-2xy = -2|x||y|.
Dividindo por -2 (que não altera a equivalência) resulta
xy = |x||y|.
Reescrevendo,
|x||y| - xy = 0.

Passo 5

Análise da equação xy = |x||y|. Note o seguinte:
  • Se xy \ge 0 então o produto xy já é não negativo. Para quaisquer x,y com xy\ge0 (ou seja, x e y têm o mesmo sinal ou um deles é zero) vale |x||y| = xy. Portanto nesses casos a igualdade é satisfeita.
  • Se xy < 0 então xy é negativo enquanto |x||y| é sempre não negativo; portanto não podem ser iguais. Logo nenhum par com xy<0 satisfaz a igualdade.
Portanto a condição obtida é exatamente xy \ge 0.

Passo 6

Interpretação em linguagem simples: a igualdade ocorre exatamente quando x e y têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos) ou quando pelo menos um deles é zero. Exemplos para checar:
  • (x,y)=(2,3): ||2|-|3||=|2-3|=1 — satisfeito.
  • (x,y)=(-2,-5): ||-2|-|-5||=|2-5|=3 e |-2-(-5)|=|3|=3 — satisfeito.
  • (x,y)=(2,-1): ||2|-|{-1}||=|2-1|=1 e |2-(-1)|=3 — não satisfeito (pois 2\cdot(-1)<0).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy \ge 0\}

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