Questão 1. Use a definição de derivada (limite da razão incremental) para calcular
, sendo
Passo 1
O enunciado pede calcular
, ou seja, o valor da derivada da função
no ponto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
e o ponto onde queremos a derivada é
.
Passo 2
Vamos usar a definição de derivada em um ponto. A definição (forma mais usada) é:
Explicando cada parte com calma:
-
é o ponto onde queremos a derivada (aqui ). -
é um pequeno incremento em ; pensamos em aproximar de . - A expressão
é a razão incremental: representa a inclinação da reta que passa por e . - O limite quando
pega a inclinação dessa reta quando os dois pontos ficam infinitamente próximos, o que é a inclinação da tangente — a derivada.
Dica prática para a prova: expanda, simplifique o numerador, fatorize e cancele antes de calcular o limite. Isso evita indeterminações do tipo .
Passo 3
Aplicando a definição com
:
Primeiro calcule
e
. Usando
:
Agora expandimos passo a passo:
e
Somando:
Calcule
:
Passo 4
Agora forme o numerador da razão incremental:
Monte a razão:
Fatorando
no numerador:
Cancelamos o
(válido para
, e o limite trata
):
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Interpretação rápida: a derivada em
é
, isto é, a taxa instantânea de variação (ou a inclinação da reta tangente) de
nesse ponto é
.
Passo 6
Resumo do método que você deve memorizar para a prova (passos rápidos):
- Escreva a definição
. - Calcule
e . - Subtraia, simplifique o numerador, fatorize
e cancele. - Tire o limite
.
Se bater indeterminação, quase sempre dá para fatorar, racionalizar (quando há raízes) ou manipular algebricamente. Força aí — você consegue!