Questão 1. Use a definição de derivada (limite da razão incremental) para calcular f^{\prime}(2), sendo
f(x)=x^{2}+3 x .

Passo 1

O enunciado pede calcular f'(2), ou seja, o valor da derivada da função f no ponto x=2.
Informações dadas:
f(x)=x^{2}+3x
e o ponto onde queremos a derivada é x=2.

Passo 2

Vamos usar a definição de derivada em um ponto. A definição (forma mais usada) é:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando cada parte com calma:
  • a é o ponto onde queremos a derivada (aqui a=2).
  • h é um pequeno incremento em x; pensamos em aproximar h de 0.
  • A expressão \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a razão incremental: representa a inclinação da reta que passa por (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)).
  • O limite quando h\to 0 pega a inclinação dessa reta quando os dois pontos ficam infinitamente próximos, o que é a inclinação da tangente — a derivada.
    Dica prática para a prova: expanda f(a+h), simplifique o numerador, fatorize h e cancele antes de calcular o limite. Isso evita indeterminações do tipo \frac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando a definição com a=2:
f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Primeiro calcule f(2+h) e f(2). Usando f(x)=x^{2}+3x:
f(2+h)=(2+h)^{2}+3(2+h).
Agora expandimos passo a passo:
(2+h)^{2}=4+4h+h^{2}
e
3(2+h)=6+3h.
Somando:
f(2+h)= (4+4h+h^{2}) + (6+3h) = 10 + 7h + h^{2}.
Calcule f(2):
f(2)=2^{2}+3\cdot 2 = 4 + 6 = 10.

Passo 4

Agora forme o numerador da razão incremental:
f(2+h)-f(2) = (10 + 7h + h^{2}) - 10 = 7h + h^{2}.
Monte a razão:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{7h + h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{7h + h^{2}}{h} = \frac{h(7 + h)}{h}.
Cancelamos o h (válido para h\neq 0, e o limite trata h\to 0):
\frac{h(7 + h)}{h} = 7 + h.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(2)=\lim_{h\to 0} (7 + h) = 7.
Interpretação rápida: a derivada em x=2 é 7, isto é, a taxa instantânea de variação (ou a inclinação da reta tangente) de f nesse ponto é 7.

Passo 6

Resumo do método que você deve memorizar para a prova (passos rápidos):
  1. Escreva a definição \displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  2. Calcule f(a+h) e f(a).
  3. Subtraia, simplifique o numerador, fatorize h e cancele.
  4. Tire o limite h\to 0.
    Se bater indeterminação \frac{0}{0}, quase sempre dá para fatorar, racionalizar (quando há raízes) ou manipular algebricamente. Força aí — você consegue!

Resposta

f'(2)=7

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