Questão 9: Mostre que a função f(x, y)=raiz[3]x y é contínua e suas derivadas parciais fx e fy existem na origem mas a derivada direcional não existe.

Passo 1

O enunciado nos dá a função fcolonR^2toR definida por
f(x,y)=raiz[3]x,y
e pede para mostrarmos três coisas na origem (0,0):
  1. f é contínua;
  2. as derivadas parciais fx(0,0) e fy(0,0) existem;
  3. em contrapartida, a derivada direcional em qualquer direção genérica não existe.

Passo 2

Mostramos a continuidade em (0,0) verificando
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)raiz[3]x,y
Usando a desigualdade
|x,y|<= x^2+y^22,
temos
l|raiz[3]x,yr| =raiz[3]|x,y| <= raiz[3]x^2+y^22 =(x^2+y^2)^1/32^1/3
Como (x^2+y^2)^1/3to0 quando (x,y)to(0,0), segue que
raiz[3]x,yto0=f(0,0). Logo f é contínua em (0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais na origem por definição:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0raiz[3]hcdot0-0h =limhto00h =0,
fy(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto0raiz[3]0cdot h-0h =limhto00h =0
Portanto as derivadas parciais existem e valem zero.

Passo 4

Para a derivada direcional em direção a um vetor (a,b)neq(0,0) usamos
D(a,b)f(0,0) =limtto0f(t,a,t,b)-f(0,0)t =limtto0raiz[3](t,a)(t,b)t =limtto0raiz[3]ab;t^2/3t =raiz[3]ab,limtto0t^-1/3
Como limtto0t^-1/3=+infty, esse limite diverge sempre que a,bneq0. Logo a derivada direcional não existe em nenhuma direção em que a e b sejam ambos diferentes de zero.

Resposta

Mostramos que f é contínua em (0,0), que fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0, mas que em uma direção genérica (a,b) com a,bneq0 a derivada direcional em (0,0) não existe (diverge).

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