Questão 8: Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
z=1000-0,01 x^2-0,02 y^2
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
a) Em que direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
b) Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a súbida?

Passo 1

O enunciado define a superfície
z(x,y)=1000 - 0,01,x^2 - 0,02,y^2
e diz que você está em (60,100,764). O topo do morro é o ponto de máximo de z, que ocorre em (0,0). Para subir da forma mais íngreme (direção que leva mais rápido ao topo local), usamos o gradiente de z(x,y), pois nabla z aponta na direção de maior crescimento. Precisamos então calcular nabla z no ponto dado e, a partir disso, obter a direção unitária e o ângulo de inclinação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
z(x,y)=1000 - 0,01,x^2 - 0,02,y^2:
partial zpartial x=-0,02,x, partial zpartial y=-0,04,y
No ponto (60,100):
partial zpartial x(60,100)=-0,02cdot60=-1,2=-tfrac65, partial zpartial y(60,100)=-0,04cdot100=-4
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nabla z(60,100)=l(-tfrac65,,-4r)

Passo 3

A norma de nabla z é
l|nabla z(60,100)r| =raizl(-tfrac65r)^2+(-4)^2 =raiztfrac3625+16 =raiztfrac43625 =2raiz1095
A direção unitária de maior subida é
u =1|nabla z|,nabla z(60,100) =1tfrac2raiz1095 l(-tfrac65,,-4r) =l(-tfrac3raiz109,,-tfrac10raiz109r)

Passo 4

O máximo coeficiente de subida (derivada direcional máxima) vale
Duz=|nabla z|=2raiz1095
Esse valor é a tangente do ângulo alpha de inclinação acima da horizontal, pois para cada 1 de deslocamento horizontal sobe-se tfrac2raiz1095 no vertical. Assim
tanalpha=2raiz1095, alpha=arctan!l(tfrac2raiz1095r)approx76,4^circ

Resposta

(a) A direção unitária de maior subida no plano (x,y) é
l(-tfrac3raiz109,,-tfrac10raiz109r)
(b) O ângulo acima da horizontal é
alpha=arctan!l(tfrac2raiz1095r)approx76,4^circ

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