Questão 8: Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
a) Em que direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
b) Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a súbida?
Passo 1
O enunciado define a superfície
e diz que você está em . O topo do morro é o ponto de máximo de , que ocorre em . Para subir da forma mais íngreme (direção que leva mais rápido ao topo local), usamos o gradiente de , pois aponta na direção de maior crescimento. Precisamos então calcular no ponto dado e, a partir disso, obter a direção unitária e o ângulo de inclinação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
No ponto :
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Passo 3
A norma de é
A direção unitária de maior subida é
u =1|nabla z|,nabla z(60,100) =1tfrac2raiz1095 l(-tfrac65,,-4r) =l(-tfrac3raiz109,,-tfrac10raiz109r)
Passo 4
O máximo coeficiente de subida (derivada direcional máxima) vale
Duz=|nabla z|=2raiz1095
Esse valor é a tangente do ângulo alpha de inclinação acima da horizontal, pois para cada 1 de deslocamento horizontal sobe-se tfrac2raiz1095 no vertical. Assim