Seja f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2.
  1. Estime f(1,2)
  2. Determine o domínio de f.
  3. Determine a imagem de f.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2
e pede três coisas: estimar f(1,2), achar o domínio (onde a raiz é real) e achar a imagem (os valores que f atinge). Vamos usar a condição de existência da raiz quadrada e observar onde o radicando varia.

Passo 2

Para estimar f(1,2) substituímos x=1 e y=2 dentro da raiz:
f(1,2)=raiz36-9,(1)^2-4,(2)^2 =raiz36-9-16 =raiz11
Numericamente raiz11approx3,316.

Passo 3

O domínio de f é o conjunto de todos (x,y) tais que o radicando seja não negativo:
36-9x^2-4y^2>=0 Long<=ftrightarrow 9x^2+4y^2<=36
Isso define uma região elíptica fechada em R^2.

Passo 4

Para a imagem, note que dentro do domínio o menor valor que o radicando pode assumir é 0 (na fronteira da elipse) e o maior é 36 (no ponto (0,0)). Como f extrai a raiz quadrada, temos
f(0,0)=raiz36=6 e f=0 na fronteira,
logo f varia de 0 até 6.

Resposta

f(1,2)=raiz11approx 3,316\n
Dom\ínio de f: (x,y)mid 9x^2+4y^2<= 36\n
Imagem de f: [0,6]

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