Questão 2. Mostre que a integral de linha é independende de caminho e determine seu valor.
\int_{(0,0)}^{(1, \pi / 2)} e^{x} \sin y d x+e^{x} \cos y d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha
\int_{(0,0)}^{(1,\pi/2)} e^{x}\sin y \,dx + e^{x}\cos y \,dy
e pede para mostrar que ela é independente de caminho e calcular seu valor. O conteúdo usado será a verificação de campo conservativo e o cálculo via potencial.

Passo 2

Definimos o campo vetorial \mathbf{F}(x,y) = \bigl(e^{x}\sin y,\;e^{x}\cos y\bigr).
Para ser conservativo num domínio simplesmente conexo, deve valer
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr).
Calculamos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) = e^{x}\cos y, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) = e^{x}\cos y.
Como coincidem em \mathbb{R}^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Sendo \mathbf{F}=\nabla f, buscamos potencial f(x,y). Integramos a primeira componente em x:
f(x,y) = \int e^{x}\sin y\,dx = e^{x}\sin y + g(y).
Diferenciando em y:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x}\cos y + g'(y)
que deve ser igual à segunda componente e^{x}\cos y. Logo g'(y)=0 e g é constante. Tomamos
f(x,y) = e^{x}\sin y.

Passo 4

Como a integral é independente de caminho, vale
\int_{(0,0)}^{(1,\pi/2)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(1,\tfrac{\pi}{2}) - f(0,0) = e^{1}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - e^{0}\sin(0) = e\cdot1 - 1\cdot0 = e.

Resposta

A integral de linha é independente de caminho e seu valor é e.

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