Questão 2. Mostre que a integral de linha é independende de caminho e determine seu valor.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral de linha
e pede para mostrar que ela é independente de caminho e calcular seu valor. O conteúdo usado será a verificação de campo conservativo e o cálculo via potencial.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
.
Para ser conservativo num domínio simplesmente conexo, deve valer
Para ser conservativo num domínio simplesmente conexo, deve valer
Calculamos
Como coincidem em
, o campo é conservativo.
Passo 3
Sendo
, buscamos potencial
. Integramos a primeira componente em
:
Diferenciando em
:
que deve ser igual à segunda componente
. Logo
e
é constante. Tomamos
Passo 4
Como a integral é independente de caminho, vale
Resposta
A integral de linha é independente de caminho e seu valor é
.