Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
Nos itens (i), (j) e (k), A é uma matriz fixada. V=M(n \times n), W=\{B \in M(n \times n) ; B A=0\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{B \in M(n\times n)\mid B\,A = 0\}
é um subespaço vetorial de V = M(n\times n), onde A é uma matriz fixa em M(n\times n). Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que o zero está em W, que W é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que a matriz zero 0\in M(n\times n) pertence a W. Como
0\cdot A = 0,
temos 0\in W.

Passo 3

Mostrar que W é fechado sob soma. Sejam B_1,B_2\in W. Então
B_1A = 0 \quad\text{e}\quad B_2A = 0.
Logo,
(B_1 + B_2)A = B_1A + B_2A = 0 + 0 = 0,
portanto B_1 + B_2\in W.

Passo 4

Mostrar que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{K} e B\in W. Como BA=0, temos
(\lambda B)\,A = \lambda\,(B\,A) = \lambda\cdot 0 = 0,
então \lambda B\in W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

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