Questão 4. Seja F(x, y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}.
a) Mostre que
\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \neq \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
em que C_{1} e C_{2} são caminhos de (1,0) até (-1,0) dados por:
\begin{array}{ll} C_{1}: & x=\cos t \quad y=\sin t \quad(0 \leq t \leq \pi) \\\ C_{2}: & x=\cos t \quad y=-\sin t \quad(0 \leq t \leq \pi) \end{array}
b) Se escrevermos o campo acima como F(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) j, mostre que
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
c) Os resultados obtidos nos itens (a) e (b) não contradizem os Teoremas estudados em sala?

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}
e pede em (a) comparar as integrais de linha \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e \displaystyle\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde C_{1} é a semicircunferência superior e C_{2} a inferior de raio 1, de (1,0) a (-1,0).
Em (b) temos P(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}} e Q(x,y)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, e queremos mostrar \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y.
Em (c) discutimos se isso contradiz o fato de que um campo com iguais derivadas mistas é conservativo.

Passo 2

Calcular \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
com x=\cos t,\;y=\sin t,\;0\le t\le\pi.
Então
d\mathbf{r}=(-\sin t,\cos t)\,dt, \quad \mathbf{F}(\cos t,\sin t)=(\sin t,-\cos t).
O produto interno é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\sin t\cdot(-\sin t)+(-\cos t)\cdot(\cos t) =-\sin^{2}t-\cos^{2}t=-1.
Logo
\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{\pi}(-1)\,dt=-\pi.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
com x=\cos t,\;y=-\sin t,\;0\le t\le\pi.
Aqui
d\mathbf{r}=(-\sin t,-\cos t)\,dt, \quad \mathbf{F}(\cos t,-\sin t)=(-\sin t,-\cos t).
O produto interno é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =(-\sin t)(-\sin t)+(-\cos t)(-\cos t) =\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Então
\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{\pi}1\,dt=\pi.
Portanto \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi\neq\pi =\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 4

Verificar \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y.
Temos
P(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \quad Q(x,y)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Compute
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{(x^{2}+y^{2})\cdot1 - y\cdot2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial Q}{\partial x} =-\frac{(x^{2}+y^{2})\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y.

Passo 5

Não há contradição: o Teorema de campo conservativo exige domínio aberto e simplesmente conectado. Aqui o campo é indefinido em (0,0) e o domínio \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} não é simplesmente conectado, permitindo que integrais em caminhos distintos entre os mesmos pontos sejam diferentes.

Resposta

a) \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi, \displaystyle\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\pi,
logo são diferentes.
b) \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y.
c)
Não contradizem: o domínio não é simplesmente conectado.

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