Questão 4. Seja
.
a) Mostre que
em que
e
são caminhos de
até
dados por:
b) Se escrevermos o campo acima como
, mostre que
c) Os resultados obtidos nos itens (a) e (b) não contradizem os Teoremas estudados em sala?
a) Mostre que
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
e pede em (a) comparar as integrais de linha
e
onde é a semicircunferência superior e
a inferior de raio 1, de
a
.
Em (b) temos e
, e queremos mostrar
.
Em (c) discutimos se isso contradiz o fato de que um campo com iguais derivadas mistas é conservativo.
onde
Em (b) temos
Em (c) discutimos se isso contradiz o fato de que um campo com iguais derivadas mistas é conservativo.
Passo 2
Calcular
com .
Então
com
Então
O produto interno é
Logo
Passo 3
Calcular
com .
Aqui
com
Aqui
O produto interno é
Então
Portanto
Passo 4
Verificar
.
Temos
Temos
Compute
Logo
.
Passo 5
Não há contradição: o Teorema de campo conservativo exige domínio aberto e simplesmente conectado. Aqui o campo é indefinido em
e o domínio
não é simplesmente conectado, permitindo que integrais em caminhos distintos entre os mesmos pontos sejam diferentes.
Resposta
a)
,
,
logo são diferentes.
b) .
c)
Não contradizem: o domínio não é simplesmente conectado.
logo são diferentes.
b)
c)
Não contradizem: o domínio não é simplesmente conectado.