Questão 1. a) Mostre que a integral de linha
é independente do caminho. (b) Calcule a integral da parte (a) ao longo de reta de
até
. (c) Calcule a integral usando o Teorema Fundamental da Integral de Linha e confirme que o valor é o mesmo que o obtido na parte (b).
Passo 1
O enunciado nos dá a integral de linha
e pede:
a) mostrar que ela é independente de caminho (ou seja, que o campo é conservativo);
b) calcular essa integral ao longo da reta que vai de até
por parametrização;
c) repetir o cálculo usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, isto é, avaliando a primitiva nos extremos.
O conteúdo principal é identificação de campo conservativo e cálculo de integrais de linha.
a) mostrar que ela é independente de caminho (ou seja, que o campo é conservativo);
b) calcular essa integral ao longo da reta que vai de
c) repetir o cálculo usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, isto é, avaliando a primitiva nos extremos.
O conteúdo principal é identificação de campo conservativo e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Para verificar se
é conservativo basta checar se
Como
e o domínio é todo
(simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo e, portanto, a integral é independente de caminho.
Passo 3
Buscamos uma primitiva
tal que
Integrando
em relação a
, temos
onde
é uma função de
só. Agora impomos
Logo
é constante, que podemos pôr zero. Assim
é uma primitiva de
.
Passo 4
Parametrizamos a reta de
a
por
Então
A integral é
Substituindo,
Fazendo integrações por partes e usando que
, obtemos
logo o valor total é
Passo 5
Usando o Teorema Fundamental da Integral de Linha para campo conservativo, basta avaliar a primitiva
em
e subtrair o valor em
:
Confere com o resultado da parte (b).
Resposta
O valor da integral é
.