Questão 1. a) Mostre que a integral de linha
\int_{C} y \operatorname{set} x d x-\cos x d y é independente do caminho. (b) Calcule a integral da parte (a) ao longo de reta de
(0,1) até (\pi,-1). (c) Calcule a integral usando o Teorema Fundamental da Integral de Linha e confirme que o valor é o mesmo que o obtido na parte (b).

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha
\int_{C} y \sin x \,dx \;-\;\cos x \,dy
e pede:
a) mostrar que ela é independente de caminho (ou seja, que o campo é conservativo);
b) calcular essa integral ao longo da reta que vai de (0,1) até (\pi,-1) por parametrização;
c) repetir o cálculo usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, isto é, avaliando a primitiva nos extremos.
O conteúdo principal é identificação de campo conservativo e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) \quad\text{com}\quad P(x,y)=y\sin x, \quad Q(x,y)=-\cos x.
Para verificar se \mathbf{F} é conservativo basta checar se
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) \;=\; \sin x \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) \;=\; -\bigl(-\sin x\bigr) \;=\; \sin x.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x e o domínio é todo \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo), concluímos que \mathbf{F} é conservativo e, portanto, a integral é independente de caminho.

Passo 3

Buscamos uma primitiva f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x} = P(x,y) = y\sin x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = Q(x,y) = -\cos x.
Integrando \partial f/\partial x = y\sin x em relação a x, temos
f(x,y) = \int y\sin x\,dx = -\,y\cos x + h(y),
onde h(y) é uma função de y só. Agora impomos
\frac{\partial f}{\partial y} = -\cos x + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; -\cos x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante, que podemos pôr zero. Assim
f(x,y) = -\,y\cos x
é uma primitiva de \mathbf{F}.

Passo 4

Parametrizamos a reta de (0,1) a (\pi,-1) por
\mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(\pi t,\;1-2t\bigr), \quad t\in[0,1].
Então
x'(t)=\pi,\quad y'(t)=-2.
A integral é
\int_{C}y\sin x\,dx - \cos x\,dy = \int_{0}^{1}\!\bigl[y(t)\sin x(t)\,x'(t)\;-\;\cos x(t)\,y'(t)\bigr]\,dt.
Substituindo,
= \int_{0}^{1} \Bigl[(1-2t)\sin(\pi t)\,\pi \;-\;\cos(\pi t)\,(-2)\Bigr]dt = \int_{0}^{1}\!\Bigl[\pi(1-2t)\sin(\pi t)+2\cos(\pi t)\Bigr]dt.
Fazendo integrações por partes e usando que \sin(0)=\sin\pi=0, obtemos
\int_{0}^{1}\!\pi(1-2t)\sin(\pi t)\,dt = 0, \quad \int_{0}^{1}\!2\cos(\pi t)\,dt = 0,
logo o valor total é
0 + 0 = 0.

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental da Integral de Linha para campo conservativo, basta avaliar a primitiva f(x,y)=-y\cos x em (\pi,-1) e subtrair o valor em (0,1):
f(\pi,-1) = -(-1)\cos(\pi) = 1\cdot(-1) = -1, \quad f(0,1) = -1\cos(0) = -1,
\Longrightarrow \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\pi,-1\bigr) - f(0,1) = -1 - (-1) = 0.
Confere com o resultado da parte (b).

Resposta

O valor da integral é 0.

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