Questão 3. Prove que se \mathbf{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \mathbf{i}+g(x, y, z) \mathbf{j}+h(x, y, z) \mathbf{k} for um campo conservativo e as funçōes f, g e h são de classe C^{1}, então
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial x}, \quad \frac{\partial g}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial y}

Passo 1

O enunciado diz que \mathbf{F}(x,y,z)=f(x,y,z)\,\mathbf{i}+g(x,y,z)\,\mathbf{j}+h(x,y,z)\,\mathbf{k} é um campo conservativo e que f,g,h são de classe C^1. Queremos provar que
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial x},\quad \frac{\partial g}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial y}.
O conteúdo da matéria é a relação entre campos conservativos e igualdade de derivadas parciais mistas (curl zero).

Passo 2

Por definição, um campo vetorial \mathbf{F} é conservativo se existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que
\mathbf{F} = \nabla\varphi,
ou seja,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=f,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=g,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=h.

Passo 3

Como f,g,h são de classe C^1, a função potencial \varphi é de classe C^2. Logo, podemos usar o teorema de igualdade das derivadas mistas de Clairaut, que diz que em pontos onde \varphi\in C^2,
\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\biggr) =\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\biggr), \quad \frac{\partial}{\partial z}\biggl(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\biggr) =\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\biggr), \quad \frac{\partial}{\partial z}\biggl(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\biggr) =\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\biggr).

Passo 4

Substituindo \phi_x=f, \phi_y=g, \phi_z=h nas igualdades de derivadas mistas, obtemos:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(\phi_x) =\frac{\partial}{\partial x}(\phi_y) =\frac{\partial g}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(\phi_x) =\frac{\partial}{\partial x}(\phi_z) =\frac{\partial h}{\partial x},
\frac{\partial g}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(\phi_y) =\frac{\partial}{\partial y}(\phi_z) =\frac{\partial h}{\partial y}.

Resposta

As igualdades
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial x},\quad \frac{\partial g}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial y}
seguem diretamente da existência de potencial \varphi e da igualdade das derivadas parciais mistas para \varphi\in C^2.

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