Questão 3. Prove que se
for um campo conservativo e as funçōes
e h são de classe
, então
Passo 1
O enunciado diz que
é um campo conservativo e que
são de classe
. Queremos provar que
O conteúdo da matéria é a relação entre campos conservativos e igualdade de derivadas parciais mistas (curl zero).
Passo 2
Por definição, um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
ou seja,
Passo 3
Como
são de classe
, a função potencial
é de classe
. Logo, podemos usar o teorema de igualdade das derivadas mistas de Clairaut, que diz que em pontos onde
,
Passo 4
Substituindo
,
,
nas igualdades de derivadas mistas, obtemos:
Resposta
As igualdades
seguem diretamente da existência de potencial
e da igualdade das derivadas parciais mistas para
.