Questão 9. Mostre que o trabalho realizado por um campo de força \mathrm{F}(x, y, z)=a \mathrm{i}+b \mathrm{j}+c \mathrm{k} ao mover uma partícula ao longo de qualquer caminho entre A e B é dado por \tau=\mathrm{F} \cdot \overline{A B}.

Passo 1

O enunciado considera um campo de força constante \mathbf{F}(x,y,z)=a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}+c\,\mathbf{k}
e pede para mostrar que o trabalho \tau realizado ao mover uma partícula ao longo de qualquer curva C que liga os pontos A e B satisfaz
\tau = \mathbf{F}\cdot \overline{AB}.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e uso da propriedade de campo conservativo (ou constante).

Passo 2

Escolhemos uma parametrização genérica da curva C que leva A a B: \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)), com t variando de t_0 a t_1, de modo que \mathbf{r}(t_0)=A e \mathbf{r}(t_1)=B.

Passo 3

O trabalho \tau é dado pela integral de linha
\tau = \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\;\cdot\;\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 4

Como \mathbf{F} é constante, temos \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\mathbf{F} para todo t. Logo
\tau = \int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \mathbf{F}\cdot\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 5

A integral de \mathbf{r}'(t) é simplesmente
\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{r}'(t)\,dt = \mathbf{r}(t_1)-\mathbf{r}(t_0) = B - A = \overline{AB}.
Portanto
\tau = \mathbf{F}\cdot\overline{AB}.

Resposta

\tau = \mathbf{F}\cdot\overline{AB}.

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