Questão 1. a) Mostre que a integral de linha integralC y^2 d x+2 x y d y é independente do caminho. b) Calcule a integral da parte ao longo do segmento de reta de (-1,2) até (1,3) usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.

Passo 1

O enunciado pede para o campo de vetores definido por
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=2xy
mostrar que
integralCy^2,dx+2xy,dy
é independente do caminho (parte a) e, em seguida, calcular essa integral ao longo do segmento de reta que vai de (-1,2) a (1,3) usando o Teorema Fundamental das integrais de linha (parte b). Vamos usar o critério de igualdade das derivadas cruzadas para identificar se o campo é conservativo e depois encontrar uma potencial.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Ppartial y =partialpartial y(y^2) =2y,
partial Qpartial x =partialpartial x(2xy) =2y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, o campo é exato.

Passo 3

O domínio R^2 é simplesmente conexo, logo um campo exato é conservativo. Isso garante que a integral de linha é independente do caminho e existe uma função potencial f(x,y) tal que
df = P,dx + Q,dy

Passo 4

Para encontrar f, integramos P=y^2 em relação a x:
partial fpartial x=y^2 Longrightarrow f(x,y)=x,y^2+h(y),
onde h é função de y só. Diferenciando essa expressão em y e igualando a Q, temos
partial fpartial y =2xy + h'(y) ;=; 2xy Longrightarrow h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=const
Podemos escolher a constante zero, obtendo
f(x,y)=x,y^2

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha, para qualquer curva C de A=(-1,2) até B=(1,3) vale
integralCy^2,dx+2xy,dy =fl(Br)-fl(Ar)

Passo 6

Calculamos nos pontos finais:
f(1,3)=1cdot3^2=9, f(-1,2)=(-1)cdot2^2=-4
Portanto
integralCy^2,dx+2xy,dy =9-(-4)=13

Resposta

13

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