Questão 1. a) Mostre que a integral de linha
é independente do caminho. b) Calcule a integral da parte ao longo do segmento de reta de
até
usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
Passo 1
O enunciado pede para o campo de vetores definido por
mostrar que
é independente do caminho (parte a) e, em seguida, calcular essa integral ao longo do segmento de reta que vai de
a
usando o Teorema Fundamental das integrais de linha (parte b). Vamos usar o critério de igualdade das derivadas cruzadas para identificar se o campo é conservativo e depois encontrar uma potencial.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Como
em todo
, o campo é exato.
Passo 3
O domínio
é simplesmente conexo, logo um campo exato é conservativo. Isso garante que a integral de linha é independente do caminho e existe uma função potencial
tal que
Passo 4
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
onde
é função de
só. Diferenciando essa expressão em
e igualando a
, temos
Podemos escolher a constante zero, obtendo
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha, para qualquer curva
de
até
vale
Passo 6
Calculamos nos pontos finais:
Portanto