Resolva pelos métodos Gráfico (Quando possível) e SIMPLEX
max f(x)=3 x1+7 x2
cc x1 & <= 6 x2 & <= 8 4 x1-2 x2 & <= 10 x1, x2 & >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de programação linear
max f(x)=3x1+7x2
sujeito a
x1<=6, x2<=8, 4x1-2x2<=10, x1,x2>=0,
usando os métodos gráfico (quando possível) e Simplex. Vamos precisar conhecer como traçar a região factível no plano (x1,x2), calcular seus vértices e avaliar a função objetivo, e depois aplicar o método Simplex introduzindo variáveis folga.

Passo 2

Resolução gráfica: cada restrição define uma meia-reta ou semi-plano:
x1<=6 é o semi-plano à esquerda da reta x1=6.
x2<=8 é o semi-plano abaixo da reta x2=8.
4x1-2x2<=10 pode ser escrita como
x2>=2x1-5,
que é o semi-plano acima da reta x2=2x1-5.
Juntando com x1>=0 e x2>=0, a região factível é um polígono convexo limitado pelas linhas
x1=0, x2=0, x1=6, x2=8, x2=2x1-5

Passo 3

Determinação dos vértices da região factível, encontrando interseções das retas:
  1. A=(0,0) interseção de x1=0 com x2=0.
  2. C=(2,5,0) interseção de x2=0 com 4x1-2x2=10.
  3. D=(6,7) interseção de x1=6 com 4x1-2x2=10.
  4. E=(6,8) interseção de x1=6 com x2=8.
  5. F=(0,8) interseção de x1=0 com x2=8.
Agora avaliamos f(x)=3x1+7x2 em cada vértice:
f(A)&=3cdot0+7cdot0=0, f(C)&=3cdot2,5+7cdot0=7,5, f(D)&=3cdot6+7cdot7=18+49=67, f(E)&=3cdot6+7cdot8=18+56=74, f(F)&=3cdot0+7cdot8=56

Passo 4

Na solução gráfica, o valor máximo é
max f =74
ocorre em (x1,x2)=(6,8).

Passo 5

Configuração do Simplex: introduzimos variáveis de folga s1,s2,s3>=0 e escrevemos o sistema em forma padrão:
x1+s1=6, x2+s2=8, 4x1-2x2+s3=10, z-3x1-7x2=0

Passo 6

Montamos a tabela inicial:
c|ccccc|c & x1&x2&s1&s2&s3&RHShline s1&1&0&1&0&0&6 s2&0&1&0&1&0&8 s3&4&-2&0&0&1&10hline z&-3&-7&0&0&0&0
Entram as variáveis com coeficiente negativo na linha- z: primeiro x2 (mais negativo).

Passo 7

Primeiro pivô na coluna de x2, linha s2. Após a operação obtemos:
c|ccccc|c & x1&x2&s1&s2&s3&RHShline s1&1&0&1&0&0&6 x2&0&1&0&1&0&8 s3&4&0&0&2&1&26hline z&-3&0&0&7&0&56
Agora entra x1 (coeficiente -3 na linha- z), pivô em s1.
Após a segunda iteração:
c|ccccc|c & x1&x2&s1&s2&s3&RHShline x1&1&0&1&0&0&6 x2&0&1&0&1&0&8 s3&0&0&-4&2&1&2hline z&0&0&3&-7&0&74

Passo 8

Na tabela final, as variáveis básicas são x1=6, x2=8, s3=2, e a linha- z z=74. Não há coeficientes negativos nas colunas de x1,x2, logo a solução é ótima.

Resposta

x1=6, x2=8, max f(x)=74

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