Questão 3. Mostre que
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a integral
é divergente. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente o estudo de integrais impróprias e testes de convergência. Vamos precisar entender como comparar funções e usar algum teste de convergência para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento da função dentro da integral,
, quando
vai para o infinito. Isso ajuda a entender se a área sob a curva vai ser finita (convergente) ou infinita (divergente).
Passo 3
Observando
, percebemos que, conforme
fica bem grande, o termo
cresce muito mais rápido que 1. Então, para simplificar, podemos dizer que
se comporta semelhante a
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa função com
. Sabemos que a integral de
de 1 até o infinito também é uma integral imprópria. Se conseguirmos mostrar que essa integral também diverge, então podemos concluir que a nossa integral original diverge.
Passo 5
Para verificar a integral
, podemos notar que
cresce exponencialmente, enquanto
cresce apenas linearmente. A razão é que, no infinito, o crescimento exponencial domina qualquer crescimento polinomial. Assim, a integral de
também tende a infinito.
Passo 6
Como a integral comparada
é divergente e nossa função original
é ainda maior que
para todo
, podemos concluir que a integral original também é divergente.
Resposta
A integral
é divergente.