Questão 3. Mostre que integral1^infty 1+e^5 xx d x é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a integral integral1^infty 1+e^5xx dx é divergente. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente o estudo de integrais impróprias e testes de convergência. Vamos precisar entender como comparar funções e usar algum teste de convergência para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento da função dentro da integral, 1+e^5xx, quando x vai para o infinito. Isso ajuda a entender se a área sob a curva vai ser finita (convergente) ou infinita (divergente).

Passo 3

Observando 1+e^5xx, percebemos que, conforme x fica bem grande, o termo e^5x cresce muito mais rápido que 1. Então, para simplificar, podemos dizer que 1+e^5xx se comporta semelhante a e^5xx quando x tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa função com e^5xx. Sabemos que a integral de e^5xx de 1 até o infinito também é uma integral imprópria. Se conseguirmos mostrar que essa integral também diverge, então podemos concluir que a nossa integral original diverge.

Passo 5

Para verificar a integral integral1^infty e^5xx dx, podemos notar que e^5x cresce exponencialmente, enquanto x cresce apenas linearmente. A razão é que, no infinito, o crescimento exponencial domina qualquer crescimento polinomial. Assim, a integral de e^5xx também tende a infinito.

Passo 6

Como a integral comparada integral1^infty e^5xx dx é divergente e nossa função original 1+e^5xx é ainda maior que e^5xx para todo x >= 1, podemos concluir que a integral original também é divergente.

Resposta

A integral integral1^infty 1+e^5xx dx é divergente.

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