Questão 1. Calcule as integrais:
integral sen^3(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sen^3(2 x) , dx. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente, integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sen^3(2x) de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que sen^3(u) = sen(u) cdot sen^2(u). Então, aplicando isso:
sen^3(2x) = sen(2x) cdot sen^2(2x)

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar sen^2(2x). Sabemos que:
sen^2(u) = 1 - cos^2(u)
Aplicando isso:
sen^2(2x) = 1 - cos^2(2x)

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integral sen^3(2x) , dx = integral sen(2x) cdot (1 - cos^2(2x)) , dx

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar t = cos(2x). Assim, a derivada de t em relação a x é:
dtdx = -2 sen(2x) Rightarrow sen(2x) , dx = -12 , dt

Passo 6

Substituindo na integral:
integral sen(2x) cdot (1 - t^2) , dx = -12 integral (1 - t^2) , dt

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
-12 integral (1 - t^2) , dt = -12 ( integral 1 , dt - integral t^2 , dt )
Integrando:
-12 ( t - t^33 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituindo t = cos(2x) de volta:
-12 cos(2x) + 16 cos^3(2x) + C

Resposta

A integral de sen^3(2x) , dx é:
-12 cos(2x) + 16 cos^3(2x) + C

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