Suponha que
seja um polinômio de grau
, com coeficientes inteiros, isto é,
são números inteiros. Seja
um número inteiro. Prove que se
for uma raiz de
, então
será um divisor do termo independente
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um polinômio de grau n com coeficientes inteiros
onde todos os
são inteiros e
. Precisamos provar que, se um número inteiro
for raiz de
, então
divide o termo independente
. Vamos usar ideia de avaliação de polinômio e propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Como
é raiz de
, temos
Isolando
, chega-se a
Passo 3
Cada monômio
(com
) é divisível por
, pois
é inteiro e
é inteiro. Logo o somatório
é divisível por . Como
difere desse somatório apenas por sinal, concluímos que
também divide
.
é divisível por
Resposta
Portanto, se
é raiz inteira de
, então
divide
.