Suponha que P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 seja um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 neq 0, a1, a2, ldots, an são números inteiros. Seja alpha um número inteiro. Prove que se alpha for uma raiz de P(x), então alpha será um divisor do termo independente a0.

Passo 1

O enunciado diz que temos um polinômio de grau n com coeficientes inteiros
P(x)=an x^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0,
onde todos os ai são inteiros e a0neq0. Precisamos provar que, se um número inteiro alpha for raiz de P(x), então alpha divide o termo independente a0. Vamos usar ideia de avaliação de polinômio e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Como alpha é raiz de P(x), temos
P(alpha)=analpha^n+an-1alpha^n-1+cdots+a1alpha+a0=0
Isolando a0, chega-se a
a0=-l(analpha^n+an-1alpha^n-1+cdots+a1alphar)

Passo 3

Cada monômio akalpha^k (com k>=1) é divisível por alpha, pois ak é inteiro e alpha é inteiro. Logo o somatório
alpha
é divisível por a0. Como alpha difere desse somatório apenas por sinal, concluímos que a0 também divide .

Resposta

Portanto, se alpha é raiz inteira de P(x), então alpha divide a0.

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