Questão 0.6. Mostre que 4 N approx 2 N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos de múltiplos de 4 e de múltiplos de 2 têm a mesma “tamanho” em termos de bijeção. O conteúdo é teoria de conjuntos e cardinalidade, e vamos precisar usar a definição de função bijetiva (injeção + sobrejeção).

Passo 2

Em teoria de conjuntos, dizemos que dois conjuntos A e B são equipotentes (A≈B) quando existe uma função bijetiva f: A→B. Uma bijeção satisfaz dois requisitos: (i) é injetiva, ou seja, se f(x₁)=f(x₂) então x₁=x₂; (ii) é sobrejetiva, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que f(x)=y.

Passo 3

Vamos definir uma função f: 2ℕ → 4ℕ onde 2ℕ = {2,4,6,…} e 4ℕ = {4,8,12,…}. Seja para x em 2ℕ escrito como x=2n com n∈ℕ, definimos
f(x) = f(2n) = 4n
Assim f realmente mapeia cada par em um múltiplo de 4.

Passo 4

Provar injetividade: suponha f(x₁)=f(x₂). Escrevendo x₁=2n₁ e x₂=2n₂, temos 4n₁ = f(2n₁) = f(2n₂) = 4n₂. Dividindo ambos os lados por 4 obtemos n₁ = n₂ e, consequentemente, x₁ = 2n₁ = 2n₂ = x₂. Logo, f é injetiva.

Passo 5

Provar sobrejetividade: tome um y arbitrário em 4ℕ. Então y pode ser escrito como y = 4m para algum m∈ℕ. Basta escolher x = 2m em 2ℕ e verificar f(x) = f(2m) = 4m = y. Assim, todo elemento de 4ℕ tem um antecessor em 2ℕ, e f é sobrejetiva.

Resposta

Como existe uma função bijetiva f: 2ℕ → 4ℕ, concluímos que 4ℕ ≈ 2ℕ.

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