Questão 0.7. Mostre que
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
e
têm a mesma cardinalidade, ou seja,
. Vamos usar o conceito de bijeção para conjuntos infinitos.
Passo 2
Em teoria de conjuntos, dizemos que dois conjuntos
e
têm a mesma cardinalidade se existe uma função
que é injetora e sobrejetora. Nosso objetivo é definir uma função de
em
e provar que ela é bijetora.
Passo 3
Definimos a função
por
Primeiro, verificamos que a imagem de
está mesmo em
. Se
, então
, logo
. Assim o contradomínio está bem escolhido.
Passo 4
Para injetividade, suponha que
. Isso significa
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
. Portanto
é injetora.
Passo 5
Para sobrejetividade, seja
um número arbitrário em
. Então
e podemos definir
, de modo que
e
Isso mostra que todo
tem um antecessor em
, logo
é sobrejetora.
Passo 6
Como
é injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora. Portanto há uma correspondência um a um entre
e
, o que prova que
.
Resposta
Uma bijeção que mostra
é a função
dada por
.