Questão 0.7. Mostre que R^+ approx R^-, onde R^+=x in R ; x>0 e R^-=x in R ; x<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos R^+ = xinR:x>0 e R^- = xinR:x<0 têm a mesma cardinalidade, ou seja, R^+ approx R^-. Vamos usar o conceito de bijeção para conjuntos infinitos.

Passo 2

Em teoria de conjuntos, dizemos que dois conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade se existe uma função fcolon A to B que é injetora e sobrejetora. Nosso objetivo é definir uma função de R^+ em R^- e provar que ela é bijetora.

Passo 3

Definimos a função fcolon R^+ to R^- por
f(x) = -x
Primeiro, verificamos que a imagem de f está mesmo em R^-. Se x>0, então -x<0, logo f(x)inR^-. Assim o contradomínio está bem escolhido.

Passo 4

Para injetividade, suponha que f(x1)=f(x2). Isso significa -x1=-x2. Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos x1=x2. Portanto f é injetora.

Passo 5

Para sobrejetividade, seja y um número arbitrário em R^-. Então y<0 e podemos definir x=-y>0, de modo que xinR^+ e
f(x)=f(-y) = -(-y) = y
Isso mostra que todo yinR^- tem um antecessor em R^+, logo f é sobrejetora.

Passo 6

Como f é injetora e sobrejetora, concluímos que f é bijetora. Portanto há uma correspondência um a um entre R^+ e R^-, o que prova que R^+ approx R^-.

Resposta

Uma bijeção que mostra R^+ approx R^- é a função fcolon R^+ to R^- dada por f(x)=-x.

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