Sejam A, B, C conjuntos não vazios. Mostre que:
A approx B e B approx C Rightarrow A approx C

Passo 1

O enunciado quer que a gente comprove que equipotência entre conjuntos é transitiva: de A approx B e B approx C a gente chega em A approx C. Vamos usar funções bijetoras e a composição delas.

Passo 2

Sabendo que A approx B, existe uma bijeção fcolon A to B. Lembrando que bijeção é função injetora e sobrejetora. Do mesmo jeito, B approx C nos dá uma bijeção gcolon B to C.

Passo 3

A gente define a função hcolon A to C através da composição h = g circ f. Isso significa que, pra cada x in A, a gente aplica primeiro f e depois g: h(x) = g(f(x)). Agora, vamos ver que h é bijetora.

Passo 4

Pra ver que h é injetora, considere h(x1) = h(x2). Isso dá g(f(x1)) = g(f(x2)). Como g é injetora, temos f(x1) = f(x2). E como f é injetora, concluímos x1 = x2. Ou seja, h é injetora.

Passo 5

Pra ver que h é sobrejetora, pegue um c in C. Como g é sobrejetora, existe b in B tal que g(b) = c. E como f é sobrejetora, existe a in A com f(a) = b. Então h(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Assim, h pega todos os pontos de C, ou seja, é sobrejetora.

Passo 6

Como h é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Então a gente construiu uma bijeção de A em C, conclusão: $A \approx C.

Resposta

Como a composição h = g circ f é bijetora, concluímos que A approx C.

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