Sejam
conjuntos não vazios. Mostre que:
e
Passo 1
O enunciado quer que a gente comprove que equipotência entre conjuntos é transitiva: de
e
a gente chega em
. Vamos usar funções bijetoras e a composição delas.
Passo 2
Sabendo que
, existe uma bijeção
. Lembrando que bijeção é função injetora e sobrejetora. Do mesmo jeito,
nos dá uma bijeção
.
Passo 3
A gente define a função
através da composição
. Isso significa que, pra cada
, a gente aplica primeiro
e depois
:
. Agora, vamos ver que
é bijetora.
Passo 4
Pra ver que
é injetora, considere
. Isso dá
. Como
é injetora, temos
. E como
é injetora, concluímos
. Ou seja,
é injetora.
Passo 5
Pra ver que
é sobrejetora, pegue um
. Como
é sobrejetora, existe
tal que
. E como
é sobrejetora, existe
com
. Então
. Assim,
pega todos os pontos de
, ou seja, é sobrejetora.
Passo 6
Como
é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Então a gente construiu uma bijeção de
em
, conclusão: $A \approx C.
Resposta
Como a composição
é bijetora, concluímos que
.