QUESTÃO 3 - Mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos informados. Para cada alternativa, afirme se a orientação do contorno C é relevante ou não.
f(z)=3 z^2z+i 2 e C é o círculo |z|=3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de contorno
ointC f(z),dz
é nula, onde
f(z)=3z^2z+2i
e o contorno C é o círculo |z|=3/2. Vamos usar o teorema de Cauchy para funções analíticas.

Passo 2

Identificamos que f tem uma única singularidade em z=-2i, pois é aí que o denominador z+2i se anula. Calculamos o módulo da singularidade: |-2i|=2, que é maior que o raio do círculo ( 3/2). Logo, a singularidade está fora de C e f é analítica em toda a região interior e na fronteira de C.

Passo 3

Pela fórmula do teorema integral de Cauchy, como f é analítica em e sobre C, temos
ointC f(z),dz = 0 Como o valor da integral é zero, trocar a orientação de percurso apenas muda o sinal do resultado. Mas zero vezes qualquer sinal continua zero. Portanto, a orientação de C não altera o valor da integral.

Resposta

0, e a orientação de C não é relevante.

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