Calcule cada integral complexa a seguir:
integral-infty^infty d x(x^2+1)^4.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral imprópria real integral-infty^infty dfracdx(x^2+1)^4 usando análise complexa. O conteúdo envolve o Teorema dos Resíduos e integrais de contorno. Vamos precisar escolher um contorno adequado no plano complexo, identificar polos de ordem 4 e calcular o resíduo correspondente.

Passo 2

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, escolhemos o contorno formado pela reta real de -R a R mais um semicírculo de raio R no semiplano superior, fechado no sentido anti-horário.
Mostramos que, para f(z)=1/(z^2+1)^4, a contribuição do arco de raio R tende a zero quando Rtoinfty. Isso acontece porque |z|=R e |f(z)|<= R^-8, fazendo a integral no semicírculo decair mais rápido que 1/R.

Passo 3

Os polos de f(z) são em z=pm i, ambos de ordem 4. No semiplano superior, consideramos apenas o polo em z=i.

Passo 4

Calculamos o resíduo de ordem 4 em z=i usando a fórmula
mathopRes(f,i)=13!limzto id^3dz^3l[(z-i)^4f(z)r]
Como (z-i)^4f(z)=1/(z+i)^4, temos:
$$
g(z)=(z+i)^{-4},
$$
g(z)=(z+i)^-4,
g'(z)=-4(z+i)^-5,
g''(z)=20(z+i)^-6,
Logo,
g'''(z)=-120(z+i)^-7
e
g'''(i)=-120/(2i)^7=-120/(128,i^7)=15/(16i)

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao longo da reta real vale
integral-infty^inftydx(x^2+1)^4=2pi itimesl(-tfrac5i32r)=5pi16

Resposta

5pi16

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