Calcule cada integral complexa a seguir:
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral imprópria real
usando análise complexa. O conteúdo envolve o Teorema dos Resíduos e integrais de contorno. Vamos precisar escolher um contorno adequado no plano complexo, identificar polos de ordem 4 e calcular o resíduo correspondente.
Passo 2
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, escolhemos o contorno formado pela reta real de
a
mais um semicírculo de raio
no semiplano superior, fechado no sentido anti-horário.
Mostramos que, para , a contribuição do arco de raio
tende a zero quando
. Isso acontece porque
e
, fazendo a integral no semicírculo decair mais rápido que
.
Mostramos que, para
Passo 3
Os polos de
são em
, ambos de ordem 4. No semiplano superior, consideramos apenas o polo em
.
Passo 4
Calculamos o resíduo de ordem 4 em
usando a fórmula
Como
$$
g(z)=(z+i)^{-4},
$$
Logo,
e
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao longo da reta real vale