Para cada uma das seguintes afirmações diga se ela é verdadeira (V), falsa (F) ou que você não sabe (Não sei).
Atenção: cada resposta correta vale
, cada resposta errada desconta
e as respostas não sei valem
.
Se
é diferenciável e
, então o máximo global de
no intervalo
existe.
Atenção: cada resposta correta vale
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
diferenciável com
para todo
e precisamos decidir se o máximo global de
em
existe. O conteúdo é derivadas e monotonicidade.
Passo 2
Pelo Teorema de Monotonicidade, se
para todo
, então
é estritamente crescente em
. Em outras palavras, se
então
.
Em um intervalo onde é estritamente crescente, o valor máximo ocorre no extremo direito do intervalo. Aqui o intervalo é
, cujo extremo direito é
.
Em um intervalo onde
Passo 3
Como
e
é contínua (por ser diferenciável), o valor
existe e é o supremo dos valores de
nesse intervalo. Logo, esse supremo é atingido e é o máximo global.
Passo 4
Portanto, a afirmativa de que o máximo global de
em
existe é verdadeira.
Resposta
V